小明家中有两种酒杯,一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形,称之为直角酒杯,另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线,杯口宽4 cm,杯深为8 cm,称之为抛物线酒杯.

(1)请选择适当的坐标系,求出抛物线酒杯的方程.

(2)一次,小明在游戏中注意到一个现象,若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,则任何玻璃球都不能触及酒杯杯底.但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中,则有些小玻璃球能触及酒杯杯底.小明想用所学数学知识研究一下,当玻璃球的半径r为多大值时,玻璃球一定会触及酒杯杯底.你能帮助小明解决这个问题吗?

(3)在抛物线酒杯中,放入一根粗细均匀、长度为2 cm的细棒,假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计,那么当细棒最后达到平衡状态时,细棒在酒杯中位置如何?

设的最大值为M。

   （1）当时，求M的值。

   （2）当取遍所有实数时，求M的最小值；

       （以下结论可供参考：对于，当同号时取等号）

   （3）对于第（2）小题中的，设数列满足，求证：。

(本小题共12分)

一缉私艇在A处发现在其北偏东方向,距离12 nmile的海面C处有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追及所需的时间和角的正弦值.

 

(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.