如图，已知直线AB交两坐标于A、B两点，且OA=OB=1，点P（a、b）是双曲线y=

1

2x

上在第一象内的点过点P作PM⊥x轴于M、PN⊥y轴于N．两垂线与直线AB交于E、F．
（1）分别写出点E、F的坐标（分别用a或b表示）；
（2）求△OEF的面积（结果用a、b表示）；
（3）△AOF与△BOE是否相似？请说明理由；
（4）当P在双曲线y=

1

2x

上移动时，△OEF随之变动，观察变化过程，△OEF三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．

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如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=

1

2x

图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；PM、PN分别与直线交于点E，点F．
（1）设交点E、F都在线段AB上，分别求出点E、点F的坐标；（用含a的代数式表示）
（2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；
（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论；
（4）在双曲线y=

1

2x

上是否存在点P，使点P到直线AB的距离最短的点，若存在，请求出点P的坐标及最短距离；若不存在，说明理由

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如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值；

（3）如图3，已知点F坐标为（-2，-2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．

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一、选择题

1. B；  2. B；  3. B；  4. C；  5. A； 6. C.

二、填空题

7. x≥―1且x≠2；  8. 9；   9.  97；  10. 答案不唯一,如等； 

11. 略；  12. ； 13.  6，150；  14.  4； 15. .

三、解答题

16.原式=    ------------------------------4分

= -- --------------------------------------------------------------6分

= .-----------------------------------------------------------------------------7分

17.(1) 证明：在中，--2分

∵分别是的中点，∴.   ∴.---------4分

(2) 四边形是矩形.

证明：∵四边形是菱形，∴.      ----------------5分

∴.     -----------------------------------------------------------------------6分

∵ ∴四边形是平行四边形.        ------------- 7分

∴四边形是矩形.     ------------------------------------------------------------- 8分

18.解：过作，垂足为，   ----------------------------------------1分

在中，∴   ----------------------3分

在中， ，∴    ------------------5分

∴         ------------------------------------6分

               --------------------8分

19.（1）证明：在等腰梯形中，，

∴        --------------------------------------------------1分

∵，，

∴ ∴.                      -------------3分

(2) 解：过分别作，垂足分别为.

∴       --------------------------------------------------------------------5分

∵，  ∴              ----------------------------------------------6分

∵，∴          ------------------------------------------------------7分

(2)  解：存在.

由（1）知.∴.   -----------------------------------------8分

∵,∴.          ---------------------------------------9分

解得：或        --------------------------------------------------------10分

20.解：（1）原来一天可获得的利润为 （元）-------2分

(2). ① 由题意,得.

即.                              ------------------4分

.                           ----------------------------------------------- 5分

② 当时,. ----------------------------6分

解这个方程,得.  ----------------------------------------------------------------8分

 答:出售单价是77元或73元. ----------------------------------------------------------------9分

 73元77元.                             ----------------------- 10分

21.解：（1）列表格如下：

（）

1

2

3

4

5

6

1

（1,1）

（1,2）

（1,3）

（1,4）

（1,5）

（1,6）

2

（2,1）

（2,2）

（2,3）

（2,4）

（2,5）

（2,6）

3

（3,1）

（3,2）

（3,3）

（3,4）

（3,5）

（3,6）

4

（4,1）

（4,2）

（4,3）

（4,4）

（4,5）

（4,6）

----------------------------------------5分

⑵由函数解析式可知：只有点（1，4）和（3，1）在其图像上，所以，甲获胜的概率是，即平均每12次才获胜1次，得10分；而乙获胜的概率是，即平均每12次获胜11次，得11分，所以我愿意当乙.--------------------- 10分

22.(1) 四边形是平行四边形.            ------------------------------1分

证明:.又,.又.

四边形是平行四边形.    -----------------------------------4分

(2) 是的重心,.    ---------------------------5分

由(1)的证明过程,可知和分别是边长为和的正三角形.

点到的距离为.即. -----------------8分,时, 四边形的面积有最大值是.

此时,与重合,, 四边形是菱形. -------------------------11分

23.解：⑴过点作轴,垂足为,由垂径定理,得是的中点,

.与轴相切于在中,

点的坐标是.            -----------------2分

设的解析式为.将两点的坐标代入,得解得所在直线的解析式为         --------------------- 4分

(2) ∵，∴连结.

∵，∴          -----------------------6分

∴∵是直径，∴

∴         -------------------------------------------------------------------8分

(3) 判断：不存在.      ----------------------------------------------------------------- 9分

假设存在点,使为等边三角形.则.连结,那么.,利用的面积,可得,不与重合, .这与等边三角形定义矛盾.

假设不成立.即点不存在. ----------------------------------------------------------- 12分-