题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）如图，在三棱锥P－ABC中，
，
，点
分别是AC、PC的中点，
底面ABC．
（1）求证：
平面
；
（2）当
时，求直线
与平面
所成的角的大小；
（3）当
取何值时，
在平面内的射影恰好为
的重心？
|
（本小题满分12分）
如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，，点M、N分别在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）
（1）求证：AB∥平面DNC；
（2）当DN的长为何值时，二面角D－BC－N的大小为
？
（本小题满分12分）
如图，在斜边为AB的Rt△ABC，过A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．
(1)求证：BC⊥平面PAC．
(2)求证：PB⊥平面AEF．
(3)若AP=AB=2，试用tgθ(∠BPC=θ)表示△AEF的面积、当tgθ取何值时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？
（本小题满分12分）
已知直线l：y=x，圆C1的圆心为（3，0），且经过（4，1）点.
（1）求圆C1的方程；
（2）若圆C2与圆C1关于直线l对称，点A、B分别为圆C1、C2上任意一点，求|AB|的最小值；
（3）已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒
个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒.问：当t为何值时直线PQ与圆C1相切？
（本小题满分12分）如图，定点
的坐标分别为
，一质点
从原点出发，始终沿
轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第
分钟内质点运动了
个单位，此时质点的位置为
．
（Ⅰ）求、
的表达式；
（Ⅱ）当为何值时，
取得最大，最大值为多少？
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．答案：A
解：依题意可知：由
显然：
但
不能推出
。
故选A ；
2．答案：D
解：依题意可知：设点
，则在点P处的切线的斜率为
，即
，又
故选D ；
3．答案：C
解：依题意可知：由
是奇函数，
故选C ；
4．答案：A
解：依题意可知：由
故选A；
5．答案：C
解：如图：函数
是周期函数，T=1。
故选C；
6．答案：A
解：依题意可知：由
，
，
又
。
故选A ；
7．答案：B
解：依题意可知：由图可知：
。
8．答案：A
解：依题意可知：如图，
，
则在
中，
；
则在
中，
；
则在
中，
；
故选A ；
9．答案：D
解：依题意可知：因
表示与
同方向的单位向量，
表示与
同方向的单位向量，故
，而
，
又（+）
，说明
向量与
向量垂直，根据向量加法的平行四边形法则可知：向量所在直线 过向量所在线段中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可逆推
为等腰三角形。又与夹角为
，故为等边三角形。
故选D ；
10．答案：A
解：设
，在
上，
，
，
，排除D；在
上，
，
，，排除B与C；故选A。
11．答案：B
解法一：正方体的八个顶点可确定
条直线；
条直线组成
对直线；正方体的八个顶点可确定
个面，其中12个四点面（6个表面，4个面对角面，2个体对角面），8个三点面；每个四点面上有
条直线，6条直线组成
对直线，12个四点面由12×15=180对直线组成；每个三点面上有
条直线，3条直线组成对直线，8个三点面由8×3=24对直线组成；由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
；
解法二：正方体的八个顶点可确定
个四面体，每个四面体中有三对异面直线，由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
；
12．答案：A
解：①正确；①中依题意可令
，
当
时，
在
上为减函数，
又因
在区间
为减函数，故
；
②错误；②中
当
当
③错误；③中当
时，
④正确；
圆的对称轴为直径所在的直线，故原命题正确。
故答案为：A。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。
13．答案：
解：设P点的坐标为
，则
直线PQ的方程为：
即
，
Q点的坐标为
，R点的坐标为
，
故答案为：；
14．答案：
解：依题意可知：正四棱锥S―ABCD的底面正方形ABCD在过球心O的大圆上，设球半径为R，AC=2R=
，
；
设球心O到侧面SAB的距离为
，连接
，
，过
作
于
，
连接SM，则
，
，
又
4
。
故答案为：；
15．答案：10
解：依题意可知：由
令
，故
的系数为
。
故答案为：10 ；
16．答案：③
解：依题意可知：①错，因在
上，
为减函数，而在
上，
为增函数。
②错，因在
上，为增函数，而在
上，为减函数。
③正确。因在
上，为增函数。
④错，因在
上，为增函数，而在
上，为减函数，故
时，函数有极大值。
⑤错，因在上，为增函数，故
时，函数没有极大值。
故答案为：③；
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）解：
，设
中有
个元素，显然有
，其中最大的一个是
，由于是正整数集合，故
且
；
当
时，
，此时不符合题意；
当
时，
或
或，显然只有符合题意；
当
时，设
其中
，
此时令
，
若
，则
，
不符合题意；
若
，由于是正整数集合，故
，
故时不符合题意；
综上所述。
（18）解：令
故当
（19）。答：与平面
垂直的直线条数有1条为
；
证法一：依题意由图可知：连
，
连
，
；
证法二：依题意由图建立空间直角坐标系：
，
设与
垂直的法向量为
，则有：
，而
，故
。
（20）解：设S为劳动村全体农民的集合，
为
季度劳动村在外打工的农民的集合，则
为季度劳动村没有在外打工的农民的集合，由题意有
所以
劳动村的农民全年在外打工为
，则
，
但
，
所以
，
即
。
故劳动村至少有
的农民全年在外打工。
（21）解：①作图进行受力分析，如下图示；
由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：
② ∵
，∴
故
在上为减函数，
∴当逐渐增大时，
也逐渐增大。
③要最小，则为最大，∴当为
时，最小，最小值是
。
④要
，则
，∴当为
时，。
（22）解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将
代入方程
，并整理得 
设
则有 
所以
夹角的大小为
（Ⅱ）由题设
得 
|
， ∵ 
∴
③
，依题意有
又F（1，0），得直线l方程为
时，l在方程y轴上的截距为
可知
在[4，9]上是递减的，
