已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？请说明理由；

（Ⅱ）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；

（Ⅲ）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明.

【解析】第一问中，由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。

（2）中当时，则

即，其中是大于等于的整数

反之当时，其中是大于等于的整数，则，

显然，其中

、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数

（3）中设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，

当为偶数时，式不成立。由式得，整理

当时，符合题意。当，为奇数时，

结合二项式定理得到结论。

解（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。

（2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，

显然，其中

、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数

（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，

当为偶数时，式不成立。由式得，整理

当时，符合题意。当，为奇数时，

   由，得

当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立

 

在数列中， 记

（Ⅰ）求、、、并推测；

（Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论.

【解析】第一问利用递推关系可知，、、、，猜想可得

第二问中，①当时，=，又，猜想正确

②假设当时猜想成立，即，

当时，

=

=，即当时猜想也成立

两步骤得到。

（2）①当时，=，又，猜想正确

②假设当时猜想成立，即，

当时，

=

=，即当时猜想也成立

由①②可知，对于任何正整数都有成立

 

 设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是

【答案】D

【解析】设，∴，

又∴为的一个极值点，

∴，即，

∴，

当时，，即对称轴所在直线方程为；

当时，，即对称轴所在直线方程应大于1或小于－1.

 

已知函数，．

（Ⅰ）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若方程有唯一解，求实数的值．

【解析】第一问，   

当0<x<2时，，当x>2时，，

要使在(a,a+1)上递增，必须

如使在(a,a+1)上递增，必须，即

由上得出，当时，在上均为增函数

（Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解

设  （x>0）

随x变化如下表

x
	-		+
		极小值

由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

当m=-24-16ln2时，方程有唯一解得到结论。

（Ⅰ）解： 

当0<x<2时，，当x>2时，，

要使在(a,a+1)上递增，必须

如使在(a,a+1)上递增，必须，即

由上得出，当时，在上均为增函数  ……………6分

（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解

设  （x>0）

随x变化如下表

x
	-		+
		极小值

由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

当m=-24-16ln2时，方程有唯一解

 

已知数列满足，且，

（1）当时，求出数列的所有项；

（2）当时，设，证明：；

（3）设（2）中的数列的前项和为，证明：.