已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}为等比数列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)证明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

 

设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.

（1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得

；

（2）当时，若，

求证：；

（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：

“若，则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；

解：（1）抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为，所以，

故可取满足条件.

（2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

；

所以.

（3） ①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；，

则，

.

故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设，分别过作

抛物线的准线的垂线，垂足分别为，

由及抛物线的定义得

，即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

，

而，所以.

（说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）

③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：

“当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，

分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，

及抛物线的定义得，即，则

，

又由，所以，故命题为真.

补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：

“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）

 

（本题共3小题，第一小题4分，第二小题6分，第三小题4分，共14分）

已知．

经计算得，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．

（1）试写出这个一般性的结论；

（2）请证明这个一般性的结论；

（3）对任一给定的正整数，试问是否存在正整数，使得？

若存在，请给出符合条件的正整数的一个值；若不存在，请说明理由．

已知点（）,过点作抛物线的切线，切点分别为、（其中）．

（Ⅰ）若，求与的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的方程；

（Ⅲ）若直线的方程是，且以点为圆心的圆与直线相切，

求圆面积的最小值．

【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。

中∵直线与曲线相切，且过点，∴，利用求根公式得到结论先求直线的方程，再利用点P到直线的距离为半径，从而得到圆的方程。

（3）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，借助于函数的性质圆面积的最小值

（Ⅰ）由可得，．  ------1分

∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，

∴，或， --------------------3分

同理可得：，或----------------4分

∵，∴，． -----------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，则的斜率，

∴直线的方程为：，又，

∴，即． -----------------7分

∵点到直线的距离即为圆的半径，即，--------------8分

故圆的面积为． --------------------9分

（Ⅲ）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，    ………10分

∴

，

当且仅当，即，时取等号．

故圆面积的最小值．

 

求圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A(2,－1)，与直线x＋y＝1相切的圆的方程.

【解析】利用圆心和半径表示圆的方程，首先

设圆心为S，则K_SA＝1,∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3，  ………4分

和y＝－2x联立解得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)  

∴r＝＝,

故所求圆的方程为：＋＝2

解：法一：

设圆心为S，则K_SA＝1,∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3，  ………4分

和y＝－2x联立解得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)             ……………………8分

∴r＝＝,                 ………………………10分

故所求圆的方程为：＋＝2                   ………………………12分

法二：由条件设所求圆的方程为：＋＝ 

 ,          ………………………6分

解得a＝1,b＝－2, ＝2                     ………………………10分

所求圆的方程为：＋＝2             ………………………12分

其它方法相应给分