如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）

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如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=

1

2

BC．根据上面的结论：
（1）你能否说出顺次连接任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形并说明理由；
（2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．

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（2012•历下区二模）（1）已知：如图1，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：DE=DF．
（2）如图2，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是

AB

的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB，CA的延长线于E，F，求证：EF是⊙O的切线．

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如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（　　）

A、n

B、2n-1

C、 n(n+1) 2

D、3（n+1）

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如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是

(n+1)n

2

(n+1)n

2

．

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一、选择题

1. C   2. A   3.B   4.C   5.B  6.C   7.D   8.D   9.C   10.B

二、填空题

11. ，     12.    13．30º   14. 0.18；

15. -7   16. （1）；   （2）50。

三、解答题

17．

19．解：（1），，同理

（2）若平分，四边形是菱形．

证明：，     四边形是平行四边形，

平行四边形为菱形

20．解：（1）(每图2分)………………………………………………………………4分

（2）0.12，36°；10，90°；(每空0.5分)…………………………………………………6分

（3）当旋钮开到36°附近时最省气，当旋钮开到90°时最省时．最省时和最省气不可能同时做到．………………………………………………………………………………………8分

说明：第（3）问只要表达意思明确即可，方式和文字不一定如此表达．

21．

22．解：（2）．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（3）如图③，当时，设切于点，连结，

，，

，，????????????????????????????? 3分

，，???????????????????????????? 4分

，???????????????????????????? 5分

．?????????????????????????????????? 6分

（4）．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

23．证明：（1）,

        （2分）

             （3分）

（2）连结（1分）     (4分)

                （5分）

                （6分）

             （7分）

               （8分）

24．解：（1）依题可得BP＝t，CQ＝2t，PC＝t－2．                 ……………1分

　　∵EC∥AB，∴△PCE∽△PAB，＝，

　∴EC＝．                                             ……………3分

　QE＝QC－EC＝2t－＝．                  ……………4分

　作PF⊥，垂足为F. 则PF＝PB?sin60°＝t               ……………5分

　∴S＝QE?PF＝??t＝（t²－2t＋4）(t＞2)．  ……6分

（2）此时，C为PB中点，则t－2＝2，∴＝4．                    ……………8分

　∴QE＝＝＝6（厘米）．　　       ……………10分

25.（1）∵点A的坐标为（0，16），且AB∥x轴

∴B点纵坐标为16，且B点在抛物线上

∴点B的坐标为（10，16）...............................1分

又∵点D、C在抛物线上，且CD∥x轴

∴D、C两点关于y轴对称

∴DN＝CN＝5...............................2分

∴D点的坐标为（－5,4）...............................3分

（2）设E点的坐标为（a，16），则直线OE的解析式为：..........................4分

∴F点的坐标为（）..............................5分

由AE＝a，DF＝且，得

..............................7分

解得a＝5..............................8分

（3）连结PH，PM，PK

∵⊙P是△AND的内切圆，H，M，K为切点

∴PH⊥AD　　PM⊥DN　　PK⊥AN..............................9分

在Rt△AND中，由DN＝5，AN＝12，得AD＝13

设⊙P的半径为r，则　

所以　r＝2.............................11分

在正方形PMNK中，PM＝MN＝2

∴

在Rt△PMF中，tan∠PFM＝.............................12分