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    题目列表(包括答案和解析)

    某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人）另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样的方法（按A类、B类分两层）从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果如下表1和表2．
    表1
    生产能力分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
    人数 8 x 3 2
    表2
    生产能力分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
    人数 6 y 27 18
    （Ⅰ）先确定x、y的值，再补齐下列频率分布直方图．

    （Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“工人的生产能力与工人的类别有关”？
    生产能力分组 [110，130） [130，150） 合计
    A类工人
    B类工人
    合计
    附：K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

    P（K2≥k） 0，05 0.025 0.01 0.005
    k 3.841 5.024 6.635 7.879

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    如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线A′B和直线AC、CC′、C′A所成的角的大小分别是α、β、γ，则α、β、γ的大小关系是（　　）

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    （2012•武昌区模拟）通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：
    男 女 总计
    走天桥 40 20 60
    走斑马线 20 30 50
    总计 60 50 110
    由K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
    ，算得K2=
    110×(40×30-20×20)2
    60×50×60×50
    ≈7.8
    参照独立性检验附表，得到的正确结论是（　　）

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    设向量
    a
    =（1，cos2θ），
    b
    =（2，1），
    c
    =（4sinθ，1），
    d
    =（
    1
    2
    sinθ，1）．
    （1）若θ∈（0，
    π
    4
    ），求
    a
    •
    b
    -
    c
    •
    d
    的取值范围；
    （2）若θ∈[0，π），函数f（x）=|x-1|，比较f（
    a
    •
    b
    ）与f（
    c
    •
    d
    ）的大小．

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    “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
    男性 女性 合计
    反感 10
    不反感 8
    合计 30
    已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是
    8
    15
    ．
    （Ⅰ）请将上面的列表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？（x2=
    (a+b+c+d)(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
    ，当Χ2＜2.706时，没有充分的证据判定变量性别有关，当Χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量性别有关，当Χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量性别有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量性别有关）
    （Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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    一、选择题

       D  A  A  C  D    C  D  C  B  B

    二、填空题:

    11.     12．     13．81     14．   15.②③

    三、解答题: 

    16.解：把函数按向量平移后得..............2分

    （Ⅰ）=..................3分

    ............5分

    则函数的值域为；.....................7分

    （Ⅱ）当时，，

      .............................................9分

     恒有解，，..................................11分

    即....................................................12分

     

    17.解：（Ⅰ）设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c，

    ∵，∴，由正弦定理有,

    又由余弦定理有，∴，即，

    所以为Rt，且 .................................. 3分

    又

    （1）÷（2），得...................................... 4分

    令a=4k, b=3k (k>0)

    则∴三边长分别为3，4，5.....................6分

    （Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为

    设P点坐标为（x, y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1, d2和d3可知

    ，..................................8分

    且故.......................10分

    令，由线性规划知识可知0≤m≤8，故d1+d2+d3的取值范围是......12分

     

    18.解：（Ⅰ）当

                        ………………2分

    ，..............................................5分

    故        ................6分

    定义域为     .................................7分

       （Ⅱ）对于，            

    显然当（元），    ..................................9分

    ∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多。..........12分

     

    19.解： (Ⅰ) ∵(1)＝0

    ∴(an＋2－an＋1)－(3a n＋1－4an)＝0

    即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)    又a2－2a1＝4

    ∴数列｛an＋1－2an｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。...............2分

    ∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2 n＋1

    ∴    且

    ∴数列｛｝是首项为1，公差为1的等差数列，....................4分

    ∴＝＋(n－1)×1＝n

    ∴.....................................................6分

        （Ⅱ）由，

            令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n

     　　　　　Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1.......................8分

    得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1

    ＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1

    ∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜.....................10分

    要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立,只须

       所以实数的取值范围是。.......................................12分

     

    20．解：（Ⅰ）因为

    又是函数的极值点，，即..............2分

    ，则............4分

    .........................................................6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）可知

    故.................................8分

    令，当时，得，

    则当时，；当时，，

    所以在上单调递减，在单调递增，..................10分

    故时，，又，..................................12分

    即对任意，恒有。..................................13分

     

     

     

    21.解：（Ⅰ） 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，

    设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，

    所以焦距 2c=|AB|=6. ...................................................2分

     因为

    又 ，所以 ，

    由题意得 ...........................................4分

    此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).

    所以C点的轨迹方程为   .............................6分

    （Ⅱ）不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2)

    (1)当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 .......................................7分

    显然有 △≥0， 所以

    而由椭圆第二定义可得

                                                ......................... 10分

    只要考虑 的最小值，即考虑取最小值，显然.

    当k=0时，取最小值16. .................................12分

    (2)当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得 .....12分

    但 ，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集............................................................14分

     


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