如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面A₁AE⊥平面A₁DE；
（Ⅱ）若DE=A₁E，试求异面直线AE与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C-A₁D-E的余弦值．

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一副三角板（如图），其中△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△DMN 中，∠MND=90°，∠D=60°，现将两相等长的边BC、MN重合，并翻折构成四面体ABCD．CD=a
（1）当平面ABC⊥平面BCD（图（1））时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值
（2）当将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等时（图（2）），
①求证：A在平面BCD内的射影是BD的中点；
②求二面角A-CD-B的余弦值．

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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，A₁A=2，点F是棱BC的中点，点E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ为实数）．
（1）求二面角D₁-AC-D的余弦值；
（2）当λ=

1

3

时，求直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线EF与直线EA不可能垂直．

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如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=

2

，CC₁=

2

，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E为棱AB的中点，F为CC₁上的动点．
（Ⅰ）在线段CC₁上是否存在一点F，使得EF∥平面A₁BC₁？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）在线段CC₁上是否存在一点F，使得EF⊥BB₁？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（ III）当F为CC₁的中点时，若AC≤CC₁，且EF与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为

2

3

，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

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已知菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，且BD=2BF，若M为EF的中点，BD∩AC=O
（I）求证：BM∥平面AEC；
（II）求证：平面AEC⊥平面AFC；
（III）若AF与平面BDEF成60°角，求二面角A-EF-C的余弦值．

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数   学（理科）    2009.4

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

B

B

A

C

C

B

B

二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．

11． －1   12． 110   13． 78   14．  15．  16． 7   17．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（Ⅰ）解：．……………………… 4分

由，解得 ．

所以函数的单调递增区间为 ．…………… 7分

（Ⅱ）解：由，得．故．……………… 10分

于是有 ，或，

即或．因，故．……………… 14分

19．（Ⅰ）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：

开心心，心开心，心心开，心心乐．

则恰好摸到2个“心”字球的概率是

．………………………………………6分

（Ⅱ）解：，

则 ，，

．…………………………………………10分

故取球次数的分布列为

1

2

3

．…………………………………………………14分

20．（Ⅰ）解：因在底面上的射影恰为B点，则⊥底面．

所以就是与底面所成的角．

因，故 ，

即与底面所成的角是．……………………………………………3分

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则

，

，．

则，

故与棱BC所成的角是．…………………………………………………7分

（Ⅱ）解：设，则．于是

（舍去），

则P为棱的中点，其坐标为．…………………………………………9分

设平面的法向量为，则

，故．…………………11分

而平面的法向量是，

则，

故二面角的平面角的余弦值是．………………………………14分

21．（Ⅰ）解：由题意知：，，，解得．

故椭圆的方程为．…………………………………………………5分

   （Ⅱ）解：设，

⑴若轴，可设，因，则．

由，得，即．

若轴，可设，同理可得．……………………7分

⑵当直线的斜率存在且不为0时，设，

由，消去得：．

则．………………………………………9分

．

由，知．

故 ，即（记为①）．…………11分

由，可知直线的方程为．

联立方程组，得 （记为②）．……………………13分

将②代入①，化简得．

综合⑴、⑵，可知点的轨迹方程为.………………………15分

22．（Ⅰ）证明：当时，．令，则．

若，递增；若，递减，

则是的极（最）大值点．于是

，即．故当时，有．………5分

（Ⅱ）解：对求导，得．

①若，，则在上单调递减，故合题意．

②若，．

则必须，故当时，在上单调递增．

③若，的对称轴，则必须，

故当时，在上单调递减．

综合上述，的取值范围是．………………………………10分

（Ⅲ）解：令．则问题等价于

        找一个使成立，故只需满足函数的最小值即可．

        因，

而，

故当时，，递减；当时，，递增．

于是，．

与上述要求相矛盾，故不存在符合条件的．……………………15分