已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意不相等的实数x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|，且f(p)=p(p为常数)，又在数列{a_n}中，a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求证：

（1）a_n＜p;

(2)a_n+1＞a_n.

已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意不相等的实数x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|，且f(p)=p(p为常数)，又在数列{a_n}中，a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求证：

（1）a_n＜p;

(2)a_n+1＞a_n.

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，且f（x+2）为偶函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定义区间[m，n]的长度为n-m．是否存在常数a，使的函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a³．

已知向量=（2cosx，2sinx），=，函数f（x）=•，（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x₁，x₂，都有成立，当且仅当x₁=x₂时取“=”．求证：当时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．