题目列表(包括答案和解析)
（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程是
，过点
的直线
与抛物线C相交于不同的两点A，B
（I）求抛物线C的方程及直线的斜率
的取值范围；
（Ⅱ）求
（用表示）
已知抛物线C：
与圆
有一个公共点A，且在A处两曲线的切线与同一直线l
（I） 求r；
（II） 设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。
【解析】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。
【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。
的渐近线与抛物线C：y=x2+1相切于第一象限内的点P．
时，求双曲线E的方程．如图，椭圆C: 
的焦点为F1（0，c）、F2（0，一c）（c>0），抛物线
的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A、B两点，且
（I）求证：切线l的斜率为定值；
（Ⅱ）若抛物线P与直线l及y轴围成的图形面积为
，求抛物线P的方程；
（III）当
时，求椭圆离心率e的取值范围。
|
如图，椭圆C: 
的焦点为F1（0，c）、F2（0，一c）（c>0），抛物线
的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A、B两点，且
（I）求证：切线l的斜率为定值；
|
，求抛物线P的方程；
（III）当
时，求椭圆离心率e的取值范围。
一、选择题：（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
C
C
C
A
A
B
二、填空题：（每小题4分，共24分）
11．
12．4 13．
14．
15．4 16．
三、解答题：（共76分，以下各题为累计得分，其他解答请相应给分）
17．解：（I）
由
，得
。
又当
时
，得
（Ⅱ）当
即
时函数递增。
故
的单调增区间为
，
18．解：（I）各取1个球的结果有（红，红1）（红，红2）（红，白1）（红，白2）（红，黑）
（白，红2）（白，红2）（白，白1）（白，白2）（白，黑）（白，红1）（白，红2）
（白，白1）（白，白2）（白，黑）（黑1，红1）（黑1，红2）（黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑）（黑2，红1）（黑2，红2）（黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑）（黑3，红1）
（黑3，红2）（黑3，白1）（黑3，白2）（黑3，黑）
等30种情况
其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑3，白2）8种情况，
故1白1黑的概率为
（Ⅱ）2红有2种，2白有4种，2黑有3种，
故两球颜色相同的概率为
（Ⅲ）1红有1×3+2×5=13（种），2红有2种，
故至少有1个红球的概率为
19．解：（I）侧视图
（高4，底2
）
（Ⅱ）证明，由
面ABC得AC，又由俯视图知AB
AC，
，
面PAB
又AC
面PAC，
面PAC面PAB
（Ⅲ）
面ABC，
为直线PC与底面ABC所成的角
在
中，PA=4，AC=
，
，
20．解：（I）由题意设C的方程为
由
，得
。
设直线
的方程为
，由
②代入①化简整理得 
因直线与抛物线C相交于不同的两点，
故
即
，解得
又
时仅交一点，
（Ⅱ）设
，由由（I）知
21．解：（I）
由
得
于是
故
切线方程为
，即
（Ⅱ）令
，解得
①当
时，即
时，在
内，
，于是在[1，4]内为增函数。从而
②当
，即
，在
内，
，于是在[1，4]内为减函数，从而
③当
时，在
内递减，在
内递增，故在[1，4]上的最大值为
与
的较大者。
由
，得
，故当
时，
当
时，
22．解：（I）设
的首项为
，公差为d，于是由
解得
（Ⅱ）
由
①
得
②
①―②得
即
当
时，
，当
时，
于是
设存在正整数
，使对
恒成立
当时，
，即
当时，
当
时，
当
时，
，当
时，
存在正整数
或8，对于任意正整数
都有
成立。
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