在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜

2

)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，

π

2

]


（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90⁰且a=

2

2

．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=.

(1)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

(2)求证：A₁B⊥面AB₁C.

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已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=.

(1)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

(2)求证：A₁B⊥面AB₁C.

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一：填空题

1、2；  2、x∈R，使x²+1＜x；  3、π；  4、；  5、既不充分也不必要条件；

6、1+i；   7、；     8、5；     9、；    10、(-∞, -)∪(,+∞)；

11、2或5；    12、9；  13、b₁?b₂²?b₃³?…?b_nⁿ=；    14、；

二:解答题

15．解：（1）∵(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ)

∴(a?(b=cos(α-β) =cos=         …………………………………………5分

（2）∵∴………7分

α+β=2α-(α-β)= -(α-β)         ……………………………………9分

∴或或7……………14分

16、证明：（1）令BC中点为N，BD中点为M，连结MN、EN

∵MN是△ABC的中位线

∴   MN∥CD       …………………………2分

由条件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE 

∴四边形AEMN为平行四边形

∴AN∥EM …………………………4分

∵AN面BED, EM面BED

∴AN∥面BED……………………6分

（2）   ∵AE⊥面ABC, AN面ABC

∴AE⊥AN  又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分

∵N为BC中点，AB=AC∴AN⊥BC

∴EM⊥BC………………………………………………10分

∴EM⊥面BCD…………………………………………12分

∵EM面BED  ∴  面BED⊥面BCD  ……14分

17．解：（1）取弦的中点为M，连结OM

由平面几何知识，OM=1

                   …………………………………………3分

解得：，               ………………………………………5分

∵直线过F、B ，∴则     …………………………………………7分

（2）设弦的中点为M，连结OM

则

              ……………………………………10分

解得                       …………………………………………12分

∴……………………………15分

18．（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2

     则S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=,  ∵S_△APQ=，

    ∴ ∴…………………7分

（2）

          =?………………12分

    当，即……15分

19．解（1）证：       由  得

在C₁上点处的切线为y-2e=2(x-e)，即y=2x

又在C₂上点处切线可计算得y-2e=2(x-e)，即y=2x

∴直线l与C₁、C₂都相切，且切于同一点（e,2e）      …………………5分

（2）据题意：M(t, +e),N(t,2elnt),P(t,2t)

∵+e-2t=≥0,∴+e ≥2t

设h(t)= 2t-2elnt，则由h^/(t)=2-=0得t=e ；

当t∈（0,e）时h^/(t)＜0，h(t)单调递减；且当t∈（e,+∞）时h^/(t)＞0，h(t)单调递增；

∴t＞0有h(t)≥h(e)=0  ∴2t≥2elnt

∴f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)= +e -4t+2elnt………………4分

f(t)= +2e-4==≥0…………………7分

   ∴在上递增∴当时………10分

（3）

设上式为 ，假设取正实数，则?

当时，，递减；

当，，递增． ……………………………………12分

∵                 

∴不存在正整数，使得即              …………………16分

20．解：（1），

，对一切恒成立

的最小值，又 ，………………4分

（2）这5个数中成等比且公比的三数只能为

只能是，

      …………………………8分

,,

，显然成立             ……………………………………12分

当时，，

∴ ∴使成立的自然数n恰有4个正整数的p值为3……16分

三：理科附加题

21． A．解：(1)

∴   ∴AB=CD                          …………………………4分

（2）由相交弦定理得2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴               ……………………………………10分

B．解：依题设有：     ………………………………………4分

 令，则           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

C．解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1），，由得．

所以．

即为圆的直角坐标方程．  ……………………………………3分

同理为圆的直角坐标方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相减得过交点的直线的直角坐标方程为． …………………………10分

D．证明：（1）因为

    所以          …………………………………………4分

    （2）∵   …………………………………………6分

    同理，，……………………………………8分

    三式相加即得……………………………10分

22．解：（1）记“恰好选到1个曾参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的,

则其概率为                …………………………………………4分

    答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为

（2）随机变量

P(ξ=2)= =; P(ξ=3)= =;………7分

2

3

4

P

  ∴随机变量的分布列为

                    ………………10分

23．（1），，，

，,………………3分

   （2）平面BDD₁的一个法向量为，设平面BFC₁的法向量为

∴

取得平面BFC₁的一个法向量

∴所求的余弦值为                     ……………………………………6分

（3）设（）

，由得

即，

,当时，当时，∴   ……………10分