如图所示，⊙O₁和⊙O₂外切于点C，AB是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，A、B为切点，且∠ACB=90°．以AB所在直线为轴，过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系，已知AO=4，OB=1．
（1）分别求出A、B、C各点的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）如果⊙O₁的半径是5，问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O₁ O₂上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由．

如图所示，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，B、C为切点．AT为内公切线，AT与BC相交于点T．延长BA、CA，分别与两圆交于点E、F．

(1)求证：AB·AC＝AE·AF；

(2)若AT＝2，⊙O₁与⊙O₂的半径之比为1∶3，求AE的长．