题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分13分）如图，
，
分别是椭圆
（a＞b＞0）的左右焦点，M为椭圆上一点，
垂直于x轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若G为椭圆上不同于长轴端点任一点，求∠
取值范围；
（3）过且与OM垂直的直线交椭圆于P、Q．
求椭圆的方程
（本小题满分13分）
如图，
、
是通过某城市开发区中心
的两条南北和东西走向的街道，连接
、
两地之间的铁路线是圆心在
上的一段圆弧．若点
在点正北方向，且
，点
到、的距离分别为
和
．
（Ⅰ）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（Ⅱ）若该城市的某中学拟在点正东方向选址建分校,考虑环境问题，要求校址到点的距离大于，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于
，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．
（本小题满分13分）如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
(１)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值；
(2)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？
若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.
（本小题满分13分）
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的
左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭
圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点
分别 为
和
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（本小题满分13分）
如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB＝12，求A′B′的长度．
一．1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C
二．11.5
12.36
13.
14. 
15. 适合①
②
的不等式如:
, 
或其它曲线型只要适合即可
三．16.解: （１）
∴
即AB边的长度为2.
…………… …………5分
（２）由已知及（１）有:
∴
……………8分
由正弦定理得: 
……………10分
∴
=
…………12分
17.解: ①依题意可设
………1分
则
对n=1,2,3,……都成立 ………3分
∴ 又
解得
∴
………6分
②∵
…………9分
∴
+ 
+
+…+
……12分
18.解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则
…………3分
∵“甲、乙两人各投球一次，都没有命中”的事件为
…………5分
（Ⅱ）∵甲、乙两人在罚球线各投球二次时,
甲命中1次,乙命中0次的概率为
…………7分
甲命中2次,乙命中0次的概率为
…………9分
甲命中2次,乙命中1次”的概率为
…………11分
故甲、乙两人在罚球线各投球两次，甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的
概率为P=
…………12分
19.解法1:取BE的中点O,连OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ如图，
则由已知条件有:
,
,
,
……4分
设平面ADE的法向量为ｎ=
，
则由ｎ?
及ｎ?
可取ｎ
……6分
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取为m＝
.
∵ｎ?m?=0,
∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE. ……8分
⑵点C到平面ADE的距离为
……12分
解法2:取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,CD.则
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE， AB=2CD
∴CD ， CD∴
∥ FD ……3分
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
从而平面ADE.⊥平面ABE. ……6分
②∵CD ,延长AD, BC交于T
则Ｃ为ＢT的中点．
点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的
.……8分
过B作BH⊥AE，垂足为H。∵平面ADE.⊥平面ABE。∴BH⊥平面BDE.
由已知有AB⊥BE.
BE=
，AB= 2, ∴BH=
，
从而点C到平面ADE的距离为
……………… ……………12分
或∥ FD, 点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为.
或取A B的中点M。易证
∥ DA。点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为.
20. 解:
(I)设O为原点，则
=2
，
=2
。
而=
，得=
，
于是O、P、Q三点共线。 ……………2分
因为
所以PF∥QF/，且 
，……………3分
得
，
∴
∴
……………5分
因此椭圆的离心率为
双曲线的离心率为
……………7分
（II）设
、
，
点P在双曲线
的上，有
。
则
.
所以
。 ①…………9分
又由点Q在椭圆
上，有
。
同理可得
②
……………10分
∵O、P、Q三点共线。∴
。
由①、②得
。
……………13分
21. 解:（I）
……………1分
由已知有：
∴
,∴
……………3分
从而
令=０得：ｘ1＝1，ｘ2＝
． ∵
∴ｘ2
当ｘ变化时，、f（ｘ）的变化情况如下表：
ｘ
＋
－
＋
增函数
减函数
增函数
从上表可知：在
,上是增函数;
在
，上是减函数 ……………6分
（II）∵m>0，∴m+1>1. 由（I）知：
①当0<m<1时,
. 则最小值为
得:
……8分
此时
.从而
∴最大值为
得
此时
适合. ……10分
②当m
1时, 在闭区间
上是增函数.
∴最小值为
⑴
最大值为
=0. ⑵………12分
由⑵得：
⑶
⑶代入⑴得:
.即
又m1, ∴
从而
∴此时的a,m不存在
综上知:
,.
………14分
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