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    题目列表(包括答案和解析)

    8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球，记取出白球的个数为X．
    （1）求X的分布列；
    （2）求P(
    X+1X-1
    -2≥0)    ．

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    (8分)
    如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：
    （1）直线面；
    （2）平面面．

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    ．（本题满分12分）
    甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
    甲：82 81 79 78 95 88 93 84  乙：92 95 80 75 83 80 90 85
    （1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
    （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；
    （3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.

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    ． (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

    已知向量，，

    （1）当时，求的值；

    （2）求的最大值与最小值．

     

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    ．．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

    设函数，数列满足。

    ⑴求数列的通项公式；

    ⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

    ⑶是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由。

     

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    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

    1．第二象限  2． 3   3．Π   4．   5． __ 6． 2  7．

    8．   9． 10  10.向右平移  11． 3.5  12.①④   13.  14.①③

    二、解答题：本大题共6小题，计90分.

    15．解：（1）．

    又，，即，

    ．

    （2），，

    且，

    ，即的取值范围是．

    16．（Ⅰ）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.  

    所以FD⊥平面PAF.  故PF⊥FD. 

    （Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且 AH=AD.  再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA.  所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD,从而点G满足AG=PA. 

    17．解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半

    径，则M在∠BOA的平分线上，

        同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N

    三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，

    ∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即

    ⊙M的半径为1，

    则⊙M的方程为，

      设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，

      由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即，

      则OC=，则⊙N的方程为；

    （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦

    的长度，此弦的方程是，即：，

    圆心N到该直线的距离d=，则弦长=．

    另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，圆心N到该直线的距离=，则弦长=．

    （也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）

    18．解（1）由题意的中垂线方程分别为，

    于是圆心坐标为…………………………………4分

    =＞，即   ＞即＞所以＞ ，

    于是＞ 即＞ ，所以＜  即 ＜＜………………8分

    （2）假设相切， 则，……………………………………………………10分

    ，………13分这与＜＜矛盾.

    故直线不能与圆相切. ………………………………………………16分

    19．解（Ⅰ）∵，

             ∴                               

    ∴，∴，令，得，列表如下：

    2

    0

    递减

    极小值

    递增

    ∴在处取得极小值，

    即的最小值为．              

    ，∵，∴，又，∴．                                        

    （Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，的最小值是正数，∴对一切，恒有从而当时，恒有，故在上是增函数．

    （Ⅲ）证明由（Ⅱ）知：在上是增函数，

         ∴当时，，   又，                     

    ∴，即，∴

    故当时，恒有．

    20．解：（1）数列{an}的前n项和，

    …2分

    又，    …………4分

    是正项等比数列，，  …………6分

    公比，数列         …………8分

    （2）解法一：，

    由              …………11分

    ，当，       …………13分

    又故存在正整数M，使得对一切M的最小值为2.…16分

    （2）解法二：令，11分

    由，

    函数……13分

    对于

    故存在正整数M，使得对一切恒成立，M的最小值为2.……16分

     


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