题目列表(包括答案和解析)
（I）设
是各项均不为零的等差数列
，且公差
，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当
时，求
的数值；②求
的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。
（文）
设函数
,其图象在点
，
处的切线的斜率分别为
（I）求证：
；
（II）若函数
的递增区间为
，求|
|的取值范围；
（III）若当
时（
是与
无关的常数），恒有
，试求
的最小值。
（I）设
是各项均不为零的等差数列
，且公差
，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当
时，求
的数值；②求
的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。
的数值；（本小题满分13分）
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出
瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。
现设
，分别以
表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
，
则
是对两次排序的偏离程度的一种描述。
(Ⅰ)写出的可能值集合；
(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有
，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。
一、选择题
1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. D
二、填空题
11. 192 12. 286 13. 
14. 
15.
840 16. 
三、解答题
17. （本题12分）
解：（I）
2分
（II）
8分
由已知条件
根据正弦定理，得
10分
12分
18. （本题12分）
解：（I）在7人中选出3人，总的结果数是
种， （2分）
记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A，则A包含两种情形：
①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是
，
②被选中的是3名男生的结果数是
4分
至多选中1名女生的概率为
6分
（II）由题意知随机变量
可能的取值为：0，1，2，3，则有
，
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的数学期望
12分
19. （本题12分）
解：（I）连接PO，以OA，OB，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系。 2分
∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2。
∴
∴
（II）∵
∴
是平面PDB的一个法向量。 8分
由（I）得
设平面BMP的一个法向量为
则由
，得
，不妨设c=1
得平面BMP的一个法向量为
10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值为
12分
20. （本题12分）
解：（I）由已知得
2分
由
，得 4分
即
。解得k=50或
（舍去）
6分
（II）由
，得
8分
9分
是等差数列
则
11分
12分
21. （本题14分）
解：（I）依题意得
2分
把
解得
∴椭圆的方程为
4分
（II）由（I）得
，设
，如图所示，
∵M点在椭圆上，
∴
①
∵M点异于顶点A、B，
∴
由P、A、M三点共线，可得
，
从而
7分
∴
② 8分
将①式代入②式化简得
10分
∵
∴
12分
于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
∴点B在以MN为直径的圆内。 14分
22. （本题14分）
解：（I）
，
令
2分
而
∴当
4分
（II）设函数g(x)在[0，2]上的值域是A，
∵若对任意
∴
6分
①当
，
∴函数
上单调递减。
∵
∴
； 8分
②当
令
（舍去） 9分
（i）当
时，
的变化如下表：
（ii）当
∴函数g(x)在（0，2）上单调递减。
综上可知，实数a的取值范围是
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