已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F₁.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到，又因为，这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

，再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以椭圆E的方程为…………………………4分

(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分

 代入椭圆E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x₁ +x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，

圆P的方程为（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知椭圆C中心在坐标原点O焦点在x上，F₁，F₂分别是椭圆C左、右焦点，M椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q的坐标为（1，0）存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．若存在，求出点P坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C₁的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=

3

2

，点P为椭圆上一动点，点F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆短轴的上端点为A，点M为动点，且

1

5

|

F2A

|²，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差数列，求动点M的轨迹C₂的方程．

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边
形周长等于8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M、N是直线x=4上的两个动点，且

F1M

-

F2N

=0．设E是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆E的位置关系．