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    例题分析 例1．设f (x)是定义在区间[–6.11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6.–2]上递减.在区间[–2.11]上递增.画出f (x) 的一个大致的图象.从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个 . . 例2．已知函数y =(x[2.6]).求函数的最大值和最小值. 分析:由函数y =(x[2.6])的图象可知.函数y =在区间[2.6]上递减. 所以.函数y =在区间[2.6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解:设x1.x2是区间[2.6]上的任意两个实数.且x1＜x2. 则f (x1) – f (x2) = ==. 由2≤x1＜x2≤6.得x2 –x1＞0.(x1–1) (x2–1)＞0. 于是 f (x1) – f (x2)＞0. 即 f (x1)＞f (x2). 所以.函数y =是区间[2.6]上是减函数. 因此.函数y =在区间[2.6]的两个端点上分别取得最大值与最小值. 即在x =2时取得的最大值.最大值是2.在x = 6时的最小值.最小值是0.4. 例3．已知函数f (x ) =.x∈[1.+∞). (Ⅰ)当a =时.求函数f (x)的最小值, (Ⅱ)若对任意x∈[1.+∞).f (x)＞0恒成立.试求实数a的取值范围. 分析:对于(1).将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2.然后利用单调性求解. 对于(2).运用等价转化(x?[1.+∞)恒成立.等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立.进而解出a的范围. 解:(1)当a =时.f (x) = x ++2 因为f (x)在区间[1.+∞)上为增函数. 所以f (x)在区间[1.+∞)上的最小值为f (1) =. (2)解法一:在区间[1.+∞)上.f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立. 设y = x2 +2x+a.∵(x + 1) 2 + a –1在[1.+∞)上递增. ∴当x =1时.ymin =3 + a.于是当且仅且ymin =3 + a＞0时.函数f (x)＞0恒成立. ∴a＞–3. 解法二:f (x) = x ++2 x[1.+∞). 当a≥0时.函数f (x)的值恒为正,当a＜0时.函数f (x)递增. 故当x =1时.f (x)min = 3+a. 于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时.函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3. 思考题:已知函数f (x) = x2 – 2x – 3.若x∈[t.t +2]时.求函数f (x)的最值. 解:∵对称轴x = 1. (1)当1≥t +2即t≤–1时. f (x)max­ = f (t) = t 2 –2t –3. f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3. (2)当≤1＜t +2.即–1＜t≤0时.f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3. f (x)min= f (1) = – 4. (3)当t≤1＜.即0＜t≤1. f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3. f (x)min = f (1) = – 4. (4)当1＜t.即t＞1时. f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3. f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3. 设函数最大值记为g(t).最小值记为(t)时.则有 g (t) = 【查看更多】

     

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