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    (北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数.如果对任意一个三角形.只要它的三边长都在的定义域内.就有也是某个三角形的三边长.则称为“保三角形函数 ． (I)判断..中.哪些是“保三角形函数 .哪些不是.并说明理由, (II)如果是定义在上的周期函数.且值域为.证明不是“保三角形函数 , (III)若函数.是“保三角形函数 .求的最大值． (可以利用公式) 解:(I)是“保三角形函数 .不是“保三角形函数 ． 1分 任给三角形.设它的三边长分别为.则.不妨假设. 由于.所以是“保三角形函数 . 3分 对于.3.3.5可作为一个三角形的三边长.但.所以不存在三角形以为三边长.故不是“保三角形函数 ． 4分 (II)设为的一个周期.由于其值域为.所以.存在.使得. 取正整数.可知这三个数可作为一个三角形的三边长.但.不能作为任何一个三角形的三边长．故不是“保三角形函数 ． 8分 (III)的最大值为． 9分 一方面.若.下证不是“保三角形函数 . 取.显然这三个数可作为一个三角形的三边长.但 不能作为任何一个三角形的三边长.故不是“保三角形函数 . 另一方面.以下证明时.是“保三角形函数 ． 对任意三角形的三边.若.则分类讨论如下: (1). 此时.同理.. ∴.故.． 同理可证其余两式. ∴可作为某个三角形的三边长． (2) 此时..可得如下两种情况: 时.由于.所以.. 由在上的单调性可得, 时.. 同样.由在上的单调性可得, 总之.. 又由及余弦函数在上单调递减.得 . ∴． 同理可证其余两式.所以也是某个三角形的三边长．故时.是“保三角形函数 ． 综上.的最大值为． 【查看更多】

     

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