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    (山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数f(x)的定义域为{x| x ≠ kπ.k ∈ Z}.且对于定义域内的任何x.y.有f(x­ - y) = 成立.且f(a) = 1(a为正常数).当0 < x < 2a时.f(x) > 0．(I)判断f(x)奇偶性,(II)证明f(x)为周期函数,(III)求f (x)在[2a.3a] 上的最小值和最大值． 解:(1)∵定义域{x| x ≠ kπ.k∈Z }关于原点对称. 又f(- x) = f [(a - x) - a]= = = = = = - f (x).对于定义域内的每个x值都成立 ∴ f(x)为奇函数------------------------------------------------------------------------------------ (2)易证:f(x + 4a) = f(x).周期为4a．------------------------------------------ (3)f(2a)= f(a + a)= f [a -(- a)]= = = 0. f(3a)= f(2a + a)= f [2a -(- a)]= = = - 1． 先证明f(x)在[2a.3a]上单调递减为此.必须证明x∈(2a.3a)时.f(x) < 0. 设2a < x < 3a.则0 < x - 2a < a. ∴ f(x - 2a)= = - > 0.∴ f(x)< 0--------------------- 设2a < x1 < x2 < 3a. 则0 < x2 - x1 < a.∴ f(x1)< 0 f(x2)< 0 f(x2 - x1)> 0. ∴ f(x1)- f(x2)= > 0.∴ f(x1)> f(x2). ∴ f(x)在[2a.3a]上单调递减-------------------------------------------------- ∴ f(x)在[2a.3a]上的最大值为f(2a = 0.最小值为f(3a)= - 1 【查看更多】

     

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