已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其焦距为2c，若

c

a

=

5 -1

2

（≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，a、b、c成等比数列．
（2）黄金椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（c，0），P为椭圆C上的任意一点．是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

RP

=-3

PF2

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F₁、F₂．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

已知

i

、

j

分别是x、y轴正方向的单位向量，点P（x，y）为曲线C上任意一点，

a

=(x-1)

i

+y

j

，

b

=(x+1)

i

+y

j

且满足

b

•

i

=|

a

|．
（1）求曲线C的方程．
（2）是否存在直线l，使得l与C交于不同两点M、N，且线段MN恰被直线x=

1

2

平分？若存在求出l的倾斜角α的范围，若不存在说明理由．

（（本小题满分12分）

已知点，一动圆过点且与圆内切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；

（3）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数使得恒成立，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．