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    (三)简单的线性规划问题 问题:设P＝2x+y.式中变量x.y满足下列条件.求P的最大值和最小值. 首先.作出线性约束条件所表示的平面区域.这一区域称为可行区域, 其次.考虑目标P＝2x+y的几何意义, 第三.设P＝0.画出直线,观察.分析.平移直线.从而找到最优解, 最后.求得目标函数的最大值及最小值. 1. 基本概念:目标函数.线性目标函数线性规划问题.可行解.可行域.最优解: 诸如上述问题中.不等式组是一组对变量x.y的约束条件.由于这组约束条件都是关于x.y的一次不等式.所以又可称其为线性约束条件.P＝2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x.y的解析式.我们把它称为目标函数.由于P＝2x+y又是关于x.y的一次解析式.所以又可叫做线性目标函数. 一般地.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.统称为线性规划问题.那么.满足线性约束条件的解(x.y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中.可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解分别使目标函数取得最大值和最小值.它们都叫做这个问题的最优解. 2. 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤: (1)寻找线性约束条件.线性目标函数, (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域, (3)在可行域内求目标函数的最优解. [典型例题] 例1. 已知x.y满足不等式组.试求z＝300x+900y取最大值时的整点的坐标.及相应的z的最大值. 分析:先画出平面区域.然后在平面区域内寻找使z＝300x+900y取最大值时的整点. 解:如图所示平面区域AOBC.点A.点C的坐标由方程组 得C(). 令t＝300x+900y. 即y＝-. 欲求z＝300x+900y的最大值.即转化为求截距的最大值.从而可求t的最大值. 因直线y＝-与直线y＝-x平行.故作y＝-x的平行线.当过点A时.对应的直线的截距最大.所以此时整点A使z取最大值.zmax＝300×0+900×125＝112500. 例2. 求z＝600x+300y的最大值.使式中的x.y满足约束条件的整数值. 分析:画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解:可行域如图所示: 四边形AOBC.易求点A由方程组: 得点C的坐标为(69.91) 因题设条件要求整点(x.y)使z＝600x+300y取最大值.将点代入z＝600x+300y.可知当时.z取最大值为zmax＝600×70+300×900＝69000. 例3. 已知x.y满足不等式.求z＝3x+y的最小值. 分析:可先找出可行域.平行移动直线:3x+y＝0.找出可行解.进而求出目标函数的最小值. 解:不等式x+2y≥2.表示直线x+2y＝2上及右上方的点的集合, 不等式2x+y≥1表示直线2x+y＝1上及右上方的点的集合. 可行域如图所示: 作直线:3x+y＝0.作一组与直线平行的直线:3x+y＝t.. ∵x.y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知: 当直线:3x+y＝t通过P(0.1)时.t取到最小值1.即zmin＝1. 评述:简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解.无论此类题目是以什么实际问题提出.其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件.线性目标函数, (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域, 例4. 已知甲.乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨.需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤.西车站每年最多能运360万吨煤.甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨.乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案.能使总运费最少? 解:设甲煤矿向东车站运万吨煤.乙煤矿向东车站运万吨煤.那么总运费 z＝x+1.5+0.8y+1.6.即z＝780-0.5x-0.8y. x.y应满足: 作出上面的不等式组所表示的平面区域. 设直线x+y＝280与y轴的交点为M.则M. 把直线l:0.5x+0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时.z的值最小. ∵点M的坐标为. ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站.乙煤矿向东车站运280万吨.向西车站运20万吨时.总运费最少. [模拟试题] 1. 画出不等式组表示的平面区域. 2. 求z＝2x+y的最大值.使式中的x.y满足约束条件 3. 求z＝3x+5y的最大值和最小值.使式中x.y 满足约束条件 4. 某纺纱厂生产甲.乙两种棉纱.已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨.二级子棉1吨,生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨.二级子棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润是600元.每1吨乙种棉纱的利润是900元.工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨.二级子棉不超过250吨.甲.乙两种棉纱应各生产多少.能使利润总额最大? 5. 要将甲.乙两种长短不同的钢管截成A.B.C三种规格.每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示: 规格类型 钢管类型 A规格 B规格 C规格 甲种钢管 2 1 4 乙种钢管 2 3 1 今需A.B.C三种规格的钢管各13.16.18根.问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管.且使所用钢管根数最少. 【查看更多】

     

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