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    如图所示.矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直. BE∥CF.∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2. (1)求证:AE∥平面DCF; (2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°? 方法一 (1)证明 过点E作EG⊥CF交CF于G. 连接DG.可得四边形BCGE为矩形. 又四边形ABCD为矩形. 所以AD EG.从而四边形ADGE为平行四边形. 故AE∥DG. 因为AE平面DCF.DG平面DCF. 所以AE∥平面DCF. (2)解 过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H.连接AH. 由平面ABCD⊥平面BEFC.AB⊥BC. 得AB⊥平面BEFC. 从而AH⊥EF.所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角. 在Rt△EFG中.因为EG=AD=.EF=2. 所以∠CFE=60°,FG=1, 又因为CE⊥EF,所以CF=4, 从而BE=CG=3. 于是BH=BE·sin∠BEH=. 因为AB=BH·tan∠AHB=×=. 所以当AB为时.二面角A-EF-C的大小为60°. 方法二 如图所示,以点C为坐标原点,以CB.CF和CD所在直线分别作为x轴.y轴和z轴.建立空间直角坐标系C-xyz. 设AB=a.BE=b.CF=c. 则C.A(.0.a). B(.0.0).E(.b.0).F. (1)证明 =.=(.0.0).=. 所以·=0.·=0.从而CB⊥AE.CB⊥BE. AE∩BE=E.所以CB⊥平面ABE. 因为CB⊥平面DCF. 所以平面ABE∥平面DCF.AE平面ABE. 故AE∥平面DCF. (2)解 因为=(-.c-b.0).=(.b.0). ·=0.||=2. 所以 解得 所以E(.3.0).F. 设n=与平面AEF垂直. 则n·=0.n·=0.解得n=(1,,). 又因为BA⊥平面BEFC.=. 所以|cos〈n, 〉|= 解得a=. 所以当AB为时.二面角A-EF-C的大小为60°. 【查看更多】

     

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