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    1．2008山东卷 如图.已知四棱锥P-ABCD.底面ABCD为菱形.PA⊥平面ABCD.,E.F分别是BC, PC的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若H为PD上的动点.EH与平面PAD所成最大角的正切值为.求二面角E-AF-C的余弦值. (Ⅰ)证明:由四边形ABCD为菱形.∠ABC=60°.可得△ABC为正三角形. 因为 E为BC的中点.所以AE⊥BC. 又 BC∥AD.因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD.AE平面ABCD.所以PA⊥AE. 而 PA平面PAD.AD平面PAD 且PA∩AD=A. 所以 AE⊥平面PAD.又PD平面PAD. 所以 AE⊥PD. (Ⅱ)解:设AB=2.H为PD上任意一点.连接AH.EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面PAD. 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中.AE=. 所以 当AH最短时.∠EHA最大. 即 当AH⊥PD时.∠EHA最大. 此时 tan∠EHA= 因此 AH=.又AD=2.所以∠ADH=45°. 所以 PA=2. 解法一:因为 PA⊥平面ABCD.PA平面PAC. 所以 平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O.则EO⊥平面PAC. 过O作OS⊥AF于S.连接ES.则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角. 在Rt△AOE中.EO=AE·sin30°=.AO=AE·cos30°=, 又F是PC的中点.在Rt△ASO中.SO=AO·sin45°=, 又 在Rt△ESO中.cos∠ESO= 即所求二面角的余弦值为 解法二:由(Ⅰ)知AE.AD.AP两两垂直.以A为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系.又E.F分别为BC.PC的中点.所以 E.F分别为BC.PC的中点.所以 A.B(.-1.0).C. D.E(.0.0).F(). 所以 设平面AEF的一法向量为 则 因此 取 因为 BD⊥AC.BD⊥PA.PA∩AC=A. 所以 BD⊥平面AFC. 故 为平面AFC的一法向量. 又 =(-). 所以 cos＜m, ＞= 因为 二面角E-AF-C为锐角. 所以所求二面角的余弦值为 【查看更多】

     

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