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    2008湖南卷17. 如图所示.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形.∠BCD＝60°.E是CD的中点.PA⊥底面ABCD.PA＝2. (Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB; (Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角的大小. 解: 解法一(Ⅰ)如图所示.连结BD.由ABCD是菱形且∠BCD=60°知. △BCD是等边三角形.因为E是CD的中点.所以BE⊥CD,又AB∥CD, 所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD.平面ABCD.所以 PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB. 又平面PBE.所以平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)延长AD.BE相交于点F.连结PF. 过点A作AH⊥PB于H.由(Ⅰ)知 平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE. 在Rt△ABF中.因为∠BAF＝60°. 所以.AF=2AB=2=AP. 在等腰Rt△PAF中.取PF的中点G.连接AG. 则AG⊥PF.连结HG.由三垂线定理的逆定理得. PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角. 在等腰Rt△PAF中. 在Rt△PAB中. 所以.在Rt△AHG中. 故平面PAD和平面PBE所成二面角的大小是 解法二: 如图所示.以A为原点.建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A.B. P, (Ⅰ)因为. 平面PAB的一个法向量是. 所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE. 故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)易知 设是平面PBE的一个法向量.则由得 所以 设是平面PAD的一个法向量.则由得 所以故可取 于是. 故平面PAD和平面PBE所成二面角的大小是 【查看更多】

     

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