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    (一)知识梳理 1．把称为a.b的算术平均数.称为a.b的几何平均数.因而.二元均值定理可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.如果把看作是正数a.b的等差中项.看作是正数a.b的等比中项.那么二元均值定理还可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 2．一般的数学中的定理.公式揭示了若干量之间的本质关系.但不能定格于某一种特殊形式.因此不等式a+b≥2ab的形式可以是a≥2ab-b.也可以是ab≤.还可以是a+≥2b .≥2b-a等.解题时不仅要利用原来的形式.而且要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等.以便灵活运用． 3．尽管二元均值定理的应用范围极广.推论和相关结论也很多.但其本身终究是由不等式的意义.性质推导出来的．凡是用它可以获证的不等式.均可以直接根据不等式的意义.性质证得．因此.在算术平均数与几何平均数定理的应用中.不可忽视不等式的意义.性质等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用． 4．二元均值不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式.结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和.倒数和与其它变形式的结构.由公式a+b≥2ab和≥可以得到以下几个重要结论: ① a+b≥-2ab (当且仅当a = -b时取“= 号), ② a+b≥2|ab| (当且仅当| a | = | b |时取“= 号), ③ a+b≥-2|ab| (当且仅当a = b= 0时取“= 号), ④ ≤≤≤ (a.b都是正数.当且仅当a = b时等号成立)． 5．二元均值不等式还能处理几个正数的平方和与和结构.倒数和与和结构.根式和与和结构及两两之积与和结构等不等式问题.但在处理这些结构型的不等式时.要注意与其它依据相结合来处理.常见结构的不等式的处理方法归纳如下: ⑴ab+bc+ca与a+b+c型 利用= a+b+c+2ab+2bc+2ca与a+b+c≥ab+bc+ ca相结合, ⑵a+b+c与a+b+c型 利用a+b+c≥ab+bc+ca乘以2再加上a+b+c即可, ⑶++与a+b+c型 只要在⑵中每个字母开方代换即可． 6．利用均值定理可以求函数或代数式的最值问题: ⑴当a.b都为正数.且ab为定值时.有a+b≥ .当且仅当a = b时取“= 号.此时a+b有最小值, ⑵当a.b都为正数.且a+b为定值时.有ab≤ .当且仅当 a = b时取“= 号.此时ab有最大值． 以上两类问题可简称为“积大和小 问题． 7．创设应用算术平均数与几何平均数定理使用的条件.合理拆分项或配凑 因式是经常用的解题技巧.而拆与凑的过程中.一要考虑定理使用的条件,二要考虑必须使和或积为定值,三要考虑等号成立的条件(当且仅当a = b时取“= 号).它具有一定的灵活性和变形技巧.高考中常被设计为一个难点． 8．二元均值定理具有将“和式 转化为“积式 和将“积式 转化为“和 式 的放缩功能.若所证不等式可变形成一边为和.另一边为积的形式.则可以考虑使用这一定理把问题转化．其中“一正二定三相等 在解题中具有双重功能.即对条件的制约作用.又有解题的导向作用． 【查看更多】

     

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