如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得证明

（3）因为∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，，

∴与的夹角为，即二面角的大小为．

方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴，又点，，∴

∴，且与不共线，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴，

∴与的夹角为，即二面角的大小为

（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点 ，，．

   （Ⅰ）求证：平面；

   （Ⅱ）若二面角的大小是，求的长．

直角三角形斜边AB在平面α内, 而直角边与α所成的角分别是45°和30°，则这直角三角形所在的平面与平面α所成的二面角的大小是

1. A.
   30°
2. B.
   60°
3. C.
   30°或150°
4. D.
   60°或120°