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    15．已知函数f(x)＝ax2+ax和g(x)＝x-a.其中a∈R且a≠0. (1)若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上.求a的值, (2)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A.B.O为坐标原点.试问:△OAB的面积S有没有最值?如果有.求出最值及所对应的a值,如果没有.请说明理由． (3)若p和q是方程f(x)-g(x)＝0的两根.且满足0<p<q<.证明:当x∈(0.p)时.g(x)<f(x)<p-a. 解:(1)设函数g(x)图象与x轴的交点坐标为(a,0). 又∵点(a,0)也在函数f(x)的图象上. ∴a3+a2＝0. 而a≠0.∴a＝-1. (2)依题意.f(x)＝g(x). 即ax2+ax＝x-a. 整理.得ax2+(a-1)x+a＝0.① ∵a≠0.函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A.B.∴Δ>0. 即Δ＝(a-1)2-4a2＝-3a2-2a+1 ＝(3a-1)(-a-1)>0. ∴-1<a<且a≠0. 设A(x1.y1).B(x2.y2).且x1<x2. 由①得.x1·x2＝1>0.x1+x2＝-. 设点O到直线g(x)＝x-a的距离为d.则d＝. |AB|＝ ＝|x1-x2|. ∴S△OAB＝|x1-x2|· ＝＝. ∵-1<a<且a≠0. ∴当a＝-时.S△OAB有最大值.S△OAB无最小值． (3)由题意可知 f(x)-g(x)＝a(x-p)(x-q)． ∵0<x<p<q<. ∴a(x-p)(x-q)>0. ∴当x∈(0.p)时.f(x)-g(x)>0. 即f(x)>g(x)． 又f(x)-(p-a)＝a(x-p)(x-q)+x-a-(p-a)＝(x-p)(ax-aq+1). ∴x-p<0.且ax-aq+1>1-aq>0. ∴f(x)-(p-a)<0.∴f(x)<p-a. 综上可知.g(x)<f(x)<p-a. 【查看更多】

     

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