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    题型1:裂项求和 例1．已知数列为等差数列.且公差不为0.首项也不为0.求和:. 解析:首先考虑.则=. 点评:已知数列为等差数列.且公差不为0.首项也不为0.下列求和也可用裂项求和法. 例2．求. 解析:. . 点评:裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些. 题型2:错位相减法 例3．设a为常数.求数列a.2a2.3a3.-.nan.-的前n项和. 解析:①若a=0时.Sn=0, ②若a=1.则Sn=1+2+3+-+n=, ③若a≠1.a≠0时.Sn-aSn=a(1+a+-+an-1-nan). Sn=. 例4．已知.数列是首项为a.公比也为a的等比数列.令.求数列的前项和. 解析:. ①-②得:. . 点评:设数列的等比数列.数列是等差数列.则数列的前项和求解.均可用错位相减法. 题型3:倒序相加 例5．求. 解析:. ① 又. ② 所以. 点评:Sn表示从第一项依次到第n项的和.然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和.将所得两式相加.由此得到Sn的一种求和方法. 例6．设数列是公差为.且首项为的等差数列. 求和: 解析:因为. . . 点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列的前项和.是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立. 题型4:其他方法 例7．求数列1.3+5.7+9+11.13+15+17+19.-前n项和. 解析:本题实质是求一个奇数列的和.在该数列的前n项中共有个奇数. 故. 例8．求数列1.3+.32+.--.3n+的各项的和. 解析:其和为(1+3+--+3n)+(+--+)==(3n+1-3-n). 题型5:数列综合问题 例9．设记不超过的最大整数为[],令{}=-[].则{}.[], A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 [答案]B [解析]可分别求得..则等比数列性质易得三者构成等比数列. 例10．将正⊿ABC分割成(≥2.n∈N)个全等的小正三角形(图2.图3分别给出了n=2,3的情形).在每个三角形的顶点各放置一个数.使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数都分别一次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f= .-.f(n)= 答案 解析 当n=3时.如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示.即由条件知 即 进一步可求得.由上知中有三个数.中 有6个数.中共有10个数相加 .中有15个数相加-..若中有个数相加.可得中有个数相加.且由 可得所以 = 题型6:数列实际应用题 例11．某企业进行技术改造.有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元.第一年便可获利1万元.以后每年比前一年增加30%的利润,乙方案:每年贷款1万元.第一年可获利1万元.以后每年比前一年增加5千元,两种方案的使用期都是10年.到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算.试比较两种方案中.哪种获利更多? (取) 解析:甲方案是等比数列.乙方案是等差数列. ①甲方案获利:. 银行贷款本息:. 故甲方案纯利:. ②乙方案获利: , 银行本息和: 故乙方案纯利:, 综上可知.甲方案更好. 点评:这是一道比较简单的数列应用问题.由于本息金与利润是熟悉的概念.因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解. 例12． 已知点(1.)是函数且)的图象上一点.等比数列的前项和为,数列的首项为.且前项和满足-=+(). (1)求数列和的通项公式, (2)若数列{前项和为.问>的最小正整数是多少? 解(1), ,, . 又数列成等比数列. .所以 , 又公比.所以 , 又,, , 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列. . 当. , (), (2) , 由得.满足的最小正整数为112. 题型7:课标创新题 例13．知曲线．从点向曲线引斜率为的切线.切点为． (1)求数列的通项公式, (2)证明:. 解:(1)设直线:.联立得.则.∴(舍去) .即.∴ (2)证明:∵ ∴ 由于.可令函数.则.令.得.给定区间.则有.则函数在上单调递减.∴.即在恒成立.又. 则有.即. 例14．首项为正数的数列满足 (I)证明:若为奇数.则对一切都是奇数, (II)若对一切都有.求的取值范围. 解:本小题主要考查数列.数学归纳法和不等式的有关知识.考查推理论证.抽象概括.运算求解和探究能力.考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野.本小题满分13分. 解:(I)已知是奇数.假设是奇数.其中为正整数. 则由递推关系得是奇数. 根据数学归纳法.对任何.都是奇数. 由知.当且仅当或. 另一方面.若则,若.则 根据数学归纳法. 综合所述.对一切都有的充要条件是或. 由得于是或. 因为所以所有的均大于0.因此与同号. 根据数学归纳法..与同号. 因此.对一切都有的充要条件是或. 【查看更多】

     

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