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    4．设为抛物线上位于轴两侧的两点. (1)若.证明:直线恒过一定点, (2)若为坐标原点为钝角.求直线在轴上的截距的取值范围. 例5．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F.经过点F的直线交抛物线于A.B两点.点C在抛物线的准线上.且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. ［剖析］证直线AC经过原点O.即证O.A.C三点共线.为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点.由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决. ［解］解法一:设直线方程为y＝k(x)A(x1.y1).B(x2.y2).C(.y2). ∴. ∴又∵y12＝2px1 ∴kOC＝＝kOA 即k也是直线OA的斜率.所以AC经过原点O. 当k不存在时.AB⊥x轴.同理可得kOA＝kOC.所以AC经过原点O. 解法二:因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为.由于直线斜率不为0.所以经过点的直线的方程可设为.代入抛物线方程消去得.若记.则是该方程的两个根.所以.因为轴.且点在准线上.所以点的坐标. 故直线的斜率为. 即也是直线的斜率.所以直线经过原点. 解法三:如图.过A作AD⊥l.D为垂足.则:AD∥EF∥BC 连结AC与EF相交于点N. 则 由抛物线的定义可知:|AF|＝|AD|.|BF|＝|BC| ∴|EN|＝＝|NF|. 即点是的中点.与抛物线的顶点重合.所以直线经过原点. ［警示］本例实际揭示了抛物线焦点弦的一个几何性质“A.O.C三点共线 .其中证法一采用常规的坐标法.借助代数推理进行.解题思路容易找到.但容易漏解,证法二中将直线设为有两个好处:一是它包括了轴的情形.避免了将直线的斜率作为参数时对轴情况的讨论,二是可以直接求得,证法三采用圆锥曲线的几何性质.借助平面几何的方法进行推理.体现了数与形的结合.解题思路宽.而且几何方法较之解析法比较快捷便当.从审题与思维深度上看.几何法的采用.源于思维的深刻.另外.本题也可以采用平面向量加以证明.同学们可以试一下. ［变式训练］ 【查看更多】

     

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    设为抛物线上位于轴两侧的两点。（1）若，证明直线恒过一个定点；（2）若，为钝角，求直线在轴上截距的取值范围。

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    设为抛物线上位于轴两侧的两点。（1）若，证明直线恒过一个定点；（2）若，为钝角，求直线在轴上截距的取值范围。

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    设A （x1 ，y1 ），B （x2 ，y2）为抛物线y2=2px（p>0）上位于x 轴两侧的两点．  
    （1）若y1y2=-2p ，证明直线AB 恒过一个定点； 
    （2）若p=2 ，∠AOB（O为坐标原点）为钝角，求直线AB 在x轴上截距的取值范围．

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