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    例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为C1D1中点． (1)求证:AC1⊥平面A1BD． (2)求BM与平面A1BD成的角的正切值． 解: (1)连AC. ∵C1C⊥平面ABCD. ∴C1C⊥BD． 又AC⊥BD. ∴AC1⊥BD． 同理AC1⊥A1B ∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD． (2)设正方体的棱长为.连AD1.AD1交A1D于E.连结ME.在△D1AC1中.ME∥AC1. ∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD． 连结BE.则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中.. .∴． 例2．如图.把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转. 使C点移动的距离等于AC时停止.并记为点P． (1)求证:面ABP⊥面ABC, (2)求二面角C-BP-A的余弦值． 证明(1) 由题设知AP＝CP＝BP． ∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心. 即D∈AB．∵PD⊥AB.PD面ABP. 由面面垂直的判定定理知.面ABP⊥面ABC． (2)解法1 取PB中点E.连结CE.DE.CD． ∵△BCP为正三角形.∴CE⊥BD． △BOD为等腰直角三角形.∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角． 又由(1)知.面ABP⊥面ABC.DC⊥AB.AB＝面ABP∩面ABC. 由面面垂直性质定理.得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形． 设.则..． 例3．如图所示.在正三棱柱中..截面侧面． (1)求证:, (2)若.求平面与平面 所成二面角的度数． 证明:在截面A1EC内.过E作EG⊥AC.G是垂足.如图. ∵面AEC⊥面AC.∴EG⊥侧面AC． 取AC的中点F.分别连结BF和FC.由AB＝BC得BF⊥AC． ∵面ABC⊥侧面AC.∴BF⊥侧面AC. 得BF∥EG．BF和EG确定一个平面.交侧面AC于FG． ∵BE∥侧面AC.∴BE∥FG.四边形BEGF是 .BE＝FG． ∴BE∥AA.∴FG∥AA.△AAC∽△FGC． 解:(2)分别延长CE和C1B1交于点D.连结AD． ∵∠BAC＝∠BCA＝60°. ∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝90°.即 DA⊥AC． ∵CC⊥面ACB. 由三垂线定理得DA⊥AC.所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°． ∵CC＝AA＝AB＝AC.∴∠CAC＝45°.即所求二面角为45°． 说明:如果改用面积射影定理.则还有另外的解法． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=2．M，N分别是C1D1，CC1的中点．
    （1）求异面直线A1N与MC所成角的余弦值；
    （2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC⊥PN．

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    如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=2．M，N分别是C1D1，CC1的中点．
    （1）求异面直线A1N与MC所成角的余弦值；
    （2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC⊥PN．

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    如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=2．M，N分别是C1D1，CC1的中点．
    （1）求异面直线A1N与MC所成角的余弦值；
    （2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC⊥PN．

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    如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=2．M，N分别是C1D1，CC1的中点．
    （1）求异面直线A1N与MC所成角的余弦值；
    （2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC⊥PN．

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    如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=
    		3
    ，AD=2
    		2
    ，P为C1D1的中点，M为BC的中点．
    （Ⅰ）证明：AM⊥PM；
    （Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；
    （Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．

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