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    4.2微积分基本定理 学习目标: 1.通过实例.直观了解微积分基本定理的含义.会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 2.通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 3.通过微积分基本定理的学习.体会事物间的相互转化.对立统一的辩证关系.培养学生辩证唯物主义观点.提高理性思维能力 学习重点难点: 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系.使学生直观了解微积分基本定理的含义.并能正确运用基本定理计算简单的定积分 自主学习: 一.知识回顾: 定积分的概念及用定义计算 二.新课探究 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂.所以不是求定积分的一般方法.我们必须寻求计算定积分的新方法.也是比较一般的方法. 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动.在时刻t时物体所在位置为S(). 则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为. 另一方面.这段路程还可以通过位置函数S(t)在上的增量来表达.即 = 而. 对于一般函数.设.是否也有 若上式成立.我们就找到了用的原函数(即满足)的数值差来计算在上的定积分的方法. 注:1:定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数.则 证明:因为=与都是的原函数.故 -=C()其中C为某一常数. 令得-=C.且==0 即有C=.故=+ =-= 令.有 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见.还常用表示.即 该式称之为微积分基本公式或牛顿-莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法.把求定积分的问题.转化成求原函数的问题.是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系.同时也提供计算定积分的一种有效方法.为后面的学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要的地位.起到了承上启下的作用.不仅如此.它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响.是微积分学中最重要最辉煌的成果. 三.例题解析: 例1．计算下列定积分: (1), (2). 解:(1)因为.所以. (2))因为. 所以 . 例2．计算下列定积分: . 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 解:因为. 所以. . . 可以发现.定积分的值可能取正值也可能取负值.还可能是0: ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时 .定积分的值取正值.且等于曲边梯形的面积, 图1 . 6 一 3 ( 2 ) (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时 .定积分的值取负值.且等于曲边梯形的面积的相反数, ( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时.定积分的值为0 .且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 例3．汽车以每小时32公里速度行驶.到某处需要减速停车.设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车.问从开始刹车到停车.汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t=0时.汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 =米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住. 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系.同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理.它使微积分学蓬勃发展起来.成为一门影响深远的学科.可以毫不夸张地说.微积分基本定理是微积分中最重要.最辉煌的成果． 课堂巩固: 1.曲线与坐标轴围成的面积是 A.4 B. C.3 D.2 2.下列积分不正确的是 A. B. C. D. 3.计算= 4. 计算= 归纳反思: 合作探究: 1.求抛物线与直线x+y=2所围图形的面积 2.求由曲线与..所围成的平面图形的面积 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    利用定积分的几何意义或微积分基本定理计算下列定积分：
    （1）∫01
    		1-x2
    dx=
    π
    4
    π
    4
    ．        （2）∫132xdx=
    6
    ln2
    6
    ln2
    ．

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    给出以下命题：
    （1）若
    ∫
    b
    a
    f(x)dx＞0    ，则f（x）＞0；  
    （2）
    ∫
    2π
    0
    |sinx|dx=4    ；
    （3）应用微积分基本定理，有
    ∫
    2
    1
    1
    x
    dx=F(2)-F(1)    ，则F（x）=lnx；
    （4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则
    ∫
    a
    0
    f(x)dx=
    ∫
    a+T
    T
    f(x)dx    ；
    其中正确命题的个数为（　　）

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    给出以下命题：

       （1）若，则f(x)>0；  （2）;

       （3）微积分基本定理，有, 则；

       （4）若，且F(x)是以T为周期的函数，则；

            其中正确命题的个数为  （ ）

     

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    给出以下命题：
    （1）若，则f（x）＞0；  
    （2）；
    （3）应用微积分基本定理，有，则F（x）=lnx；
    （4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；
    其中正确命题的个数为（ ）
    A．1
    B．2
    C．3
    D．4

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    给出以下命题：
    （1）若，则f（x）＞0；  
    （2）；
    （3）应用微积分基本定理，有，则F（x）=lnx；
    （4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；
    其中正确命题的个数为（ ）
    A．1
    B．2
    C．3
    D．4

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