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    1证明下列不等式: (1)a,b∈R,求证|a+b|≤|a|+|b|; (2)已知|h|<,|k|<(ε>0),求证:|hk|<ε; (3)已知|h|<cε, c <|x| (c>0,ε>0),求证:||<ε 分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有: |ab|=|a|·|b|;|an|=|a|n,||=等 证明:(1)证法1:∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b| ∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即|a+b|≤|a|+|b| 证法2:(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a||b|+b2-(a2+2ab+b2) =2［|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)≥0显然成立故(|a|+|b|)2≥|a+b|2 又∵|a|+|b|≥0,|a+b|≥0.所以|a|+|b|≥|a+b|, 即|a+b|≤|a|+|b| (2)∵0≤|h|<,0≤|k|< (ε>0).∴0≤|hk|＝|h|·|k|<·=ε (3)由0<c<|x|可知: 0<且0≤|h|<cε,∴·cε,即||<ε 2求证:|x+|≥2(x≠0) 分析:x与同号,因此有|x+|=|x|+|| 证法一:∵x与同号,∴|x+|=|x|+ ∴|x+|=|x|+≥2=2,即|x+|≥2 证法二:当x>0时,x+≥2=2 当x<0时,-x>0,有 -x+ ∴x∈R且x≠0时有x+≤-2,或x+≥2 即|x+|≥2 方法点拨:不少同学这样解: 因为|x+|≤|x|+,又|x|+≥2=2,所以|x+|≥2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3已知:|A-a|<,|B-b|<,求证: (1)|(A+B)-(a+b)|<ε,(2)|(A-B)-(a-b)|<ε 分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会 证明:因为|A-a|<,|B-b|< 所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε 即|(A+B)-(a+b)|<ε (2)|(A-B)-(a-b)|=|(A-a)-(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε 即|(A-B)-(a-b)|<ε 方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    证明下列不等式：
    （1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则
    b+c
    a
    x2+
    c+a
    b
    y2+
    a+b
    c
    z2≥2（xy+yz+zx）
    （2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则
    y+z
    x
    +
    z+x
    y
    +
    x+y
    z
    ≥2（
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    ）

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    已知函数f(x)=
    x
    x2+1
    ．
    （1）求出函数y=f（x）的单调区间；
    （2）当x∈(-
    3
    4
    ，+∞)    时，证明函数y=f（x）图象在点(
    1
    3
    ，
    3
    10
    )    处切线的下方；
    （3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
    3
    4
    ，+∞)    ，且a+b+c=1，证明：
    a
    a2+1
    +
    b
    b2+1
    +
    c
    c2+1
    ≤
    9
    10
    ”；
    （4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想
    n
    k=1
    ak
    a
    2
    k
    +1
    的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

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    证明下列不等式：
    （1）对任意的正实数a，b，有
    1
    1+a
    ≥
    1
    1+b
    -
    a-b
    (1+b)2
    ；
    （2）
    C
    0
    n
    •
    50
    50+1
    +
    C
    1
    n
    •
    51
    51+1
    +
    C
    2
    n
    •
    52
    52+1
    +…+
    C
    n
    n
    •
    5n
    5n+1
    ≥
    2n•5n
    3n+5n
    ，n∈N．

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    证明下列不等式．
    （1）求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（
    1
    a
    +
    1
    b
    +
    1
    c
    ）≥9．
    （2）已知n≥0，试用分析法证明：
    		n+2
    -
    		n+1
    ＜
    		n+1
    -
    		n
    ．

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    证明下列不等式：
    （1）a，b都是正数，且a+b=1，求证：(1+
    1
    a
    )(1+
    1
    b
    )≥9    ；
    （2）设实数x，y满足y+x2=0，且0＜a＜1，求证：loga(ax+ay)＜
    1
    8
    +loga2    ．

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