已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n之间满足关系S_n=

1

2

-

1

2

an
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+L+

1

bn

，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n项和a_n．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（II）若数列{a_n}的公比q=f（t），数列{b_n}满足b₁=a₁，bn+1=

1

2

f（b_n），求数列{

1

bn

}的通项公式；
（III）设t=

1

3

，对（II）中的数列{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个

(-1)k

bk

（k∈N^*）后，得到一个新的数列：a₁，

(-1)1

b1

，a₂，

(-1)2

b2

，

(-1)2

b2

，a₃，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，a₄…，记此数列为{c_n}．求数列{c_n}的前50项之和．