21．已知函数f(x)＝ax--2lnx.f(1)＝0. (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数.求a的取值范围, (2)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0.且an+1＝f′()-——青夏教育精英家教网—

21．已知函数f(x)＝ax--2lnx.f(1)＝0. (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数.求a的取值范围, (2)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0.且an+1＝f′()-n2+1.已知a1＝4.求证:an≥2n+2. 解:(1)因为f(1)＝a-b＝0.所以a＝b. 所以f(x)＝ax--2lnx. 所以f′(x)＝a+-. 要使函数f(x)在定义域内为单调函数. 则在内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0. 当a＝0时.则f′(x)＝-＜0在内恒成立,适合题意．当a＞0时.要使f′(x)＝a(-)2+a-≥0恒成立.则a-≥0.解得a≥1, 当a＜0时.由f′(x)＝a+-＜0恒成立.适合题意．所以a的取值范围为． (2)根据题意得:f′(1)＝0.即a+a-2＝0.得a＝1. 所以f′(x)＝(-1)2. 于是an+1＝f′()-n2+1＝(an-n)2-n2+1 ＝a-2nan+1. 用数学归纳法证明如下: 当n＝1时.a1＝4＝2×1+2. 当n＝2时.a2＝9＞2×2+2, 假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时.不等式ak＞2k+2成立.即ak-2k＞2成立. 则当n＝k+1时.ak+1＝ak(ak-2k)+1＞(2k+2)×2+1＝4k+5＞2(k+1)+2. 所以当n＝k+1.不等式也成立. 综上得对所有n∈N*时.都有an≥2n+2. 【查看更多】

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已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)