考点一:不等关系与不等式 [内容解读]通过具体情境.感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.了解不等(组)的现实背景,了解不等式的有关概念及其分类.掌握不等式的性质及其应用. 养成推理必有——青夏教育精英家教网—

考点一:不等关系与不等式 [内容解读]通过具体情境.感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.了解不等(组)的现实背景,了解不等式的有关概念及其分类.掌握不等式的性质及其应用. 养成推理必有依据的良好习惯.不要想当然.不要错漏不等式性质使用的条件.如.中.注意后面大于0的条件.出题者往往就在这里出一些似是而非的题目来迷惑考生． [命题规律]高考中.对本节内容的考查.主要放在不等式的性质上.题型多为选择题或填空题.属容易题. 例1.设.若.则下列不等式中正确的是( ) A． B. C. D. 解:由知, ,所以,故选C. 点评:本题考查绝对值的概念和绝对值的性质.如果用特殊值法也能求解. 例2.已知为非零实数.且.则下列命题成立的是( ) A. B. C. D. 解:取a＝-3.b＝2.由. 点评:特殊值法是解选择题的一种技巧.在应试时要时刻牢记有这么一种方法.这晨a.b没有说明符号.注意不要错用性质. 考点二:一元二次不等式及其解法 [内容解读]会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型.了解一元二次不等式与函数方程的联系,会解一元二次不等式.会由一元二次不等式的解求原不等式,用同解变形解不等式.分类解不等式,对解含参的不等式.对参数进行讨论,注意数形结合.会通过函数图象来解不等式． (1)用图象法解一元二次不等式教材中在研究一元二次不等式的解法时.是结合二次函数的图象.利用对应的一元二次方程的解得出的.所以我们学习一元二次不等式的解法时.应从二次函数图象出发加以理解． (2)弄清一元二次方程.二次函数.一元二次不等式三者之间的关系二次函数是研究自变量x与函数值y之间的对应关系.一元二次方程的解就是自变量为何值时.函数值的这一情况,而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中.何时函数值()或()的情况．一元二次方程的解对研究二次函数的函数值的变化是十分重要的.因为方程的两根是函数值由正变负或由负变为正的分界点.也是不等式解的区间的端点．学习过程中.只有搞清三者之间的联系.才能正确认识与理解一元二次不等式的解法． [命题规律]高考命题中.对一元二次不等式解法的考查.若以选择题.填空题出现.则会对不等式直接求解.或经常地与集合.充要条件相结合.难度不大.若以解答题出现.一般会与参数有关.或对参数分类讨论.或求参数范围.难度以中档题为主. 例3.不等式的解集是( ) A． B． C． D．解:原不等式可化为x2-x＞0.即x(x-1)＞0.所以x＜0或x＞1.选(D)．点评:这是一道很简单的一元二次不等式的试题.只要知道它的解法即可．例4.“ 是“ 的什么条件--( ) A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要解:由|x|＜2.得:-2＜x＜2.由得:-2＜x＜3. -2＜x＜2成立.则-2＜x＜3一定成立.反之则不一定成立.所以.选(A). 点评:本题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题.先解出不等式的解集来.再由充分必要条件的判断方法可得. 例5.不等式的解集为．解:原不等式变为.由指数函数的增减性.得: .所以填:. 点评:不等式与指数函数交汇.不等式与对数函数交汇.不等式与数列交汇是经常考查的内容.应加强训练. 例6.已知集合..若.求实数的取值范围．解:．设.它的图象是一条开口向上的抛物线． (1)若.满足条件.此时.即. 解得, (2)若.设抛物线与轴交点的横坐标为. 且.欲使.应有. 结合二次函数的图象.得即解得．综上可知的取值范围是．点评:本题是一元二次不等式与集合结合的综合题.考查含参数一元二次不等式的解法.注意分类讨论思想的应用.分类时做到不遗漏. 考点三:简单的线性规划 [内容解读]了解二元一次不等式(组)表示的平面区域和线性规划的意义,了解线性约束条件.线性目标函数.可行解.可行域.最优解等基本概念,了解线性规划问题的图解法.并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.以提高解决实际问题的能力．生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际问题中.主要掌握两种类型:一是给定一定数量的人力.物力资源.问怎样运用这些资源.能使完成的任务量最大.收到的效益最大,二是给定一项任务.问怎样安排.能使完成这项任务耗费的人力.物力资源最小． [命题规律]线性规划问题时多以选择.填空题的形式出现.题型以容易题.中档题为主.考查平面区域的面积.最优解的问题,随着课改的深入.近年来.以解答题的形式来考查的试题也时有出现.考查学生解决实际问题的能力. 例7.若为不等式组表示的平面区域.则当从-2连续变化到1时.动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )A． B．1 C． D．5 解:如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形. (阴影部分面积比1大.比小,故选C,不需要算出来) 点评:给出不等式组.画出平面区域.求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一.如果区域是不规节图形.将它分割成规节图形分别求它的面积即可. 例8.若变量x,y满足.则z=3x+2y的最大值是 ( ) A．90 B. 80 C. 70 D. 40 解:做出可行域如图所示.目标函数化为:y＝-.令z＝0.画y＝-.及其平行线.如右图.当它经过两直线的交点时.取得取大值. 解方程组,得. 所以,故答C. 点评:求最优解.画出可行域.将目标函数化为斜截式.再令z＝0.画它的平行线.看y轴上的截距的最值.就是最优解. 例9.本公司计划2008年在甲.乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告.广告总费用不超过9万元.甲.乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟.规定甲.乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告.能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲.乙两个电视台的广告时间.才能使公司的收益最大.最大收益是多少万元? 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟.总收益为元.由题意得目标函数为．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域.即可行域．如图: 作直线. 即．平移直线.从图中可知.当直线过点时.目标函数取得最大值．联立解得．点的坐标为． (元) 答:该公司在甲电视台做100分钟广告.在乙电视台做200分钟广告.公司的收益最大.最大收益是70万元．点评:用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题.解决问题的能力.随着课改的深入.这类试题应该是高考的热点题型之一. 考点四:基本不等关系 [内容解读]了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最值问题.理解用综合法.分析法.比较法证明不等式. 利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题: (1)当都为正数.且为定值时.有.当且仅当时.等号成立.此时有最小值, (2)当都为正数.且为定值时.有.当且仅当时.等号成立.此时有最大值．创设基本不等式使用的条件.合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧.而拆与凑的过程中.一要考虑定理使用的条件,二要考虑必须使和或积为定值,三要考虑等号成立的条件(当且仅当a=b时.等号成立).它具有一定的灵活性和变形技巧.高考中常被设计为一个难点． [命题规律]高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法.单纯不等式的命题.主要出现在选择题或填空题.一般难度不太大. 例10.已知.且.则的最大值是．解: .当且仅当x=4y=时取等号. 点评:本题考查基本不等式求最值的问题.注意变形后使用基本不等式. 例11.已知( ) (A) (B) (C) (D) 解:由,且.∴.∴ . 点评:本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用. 例12.已知..则的最小值．解:由得. 代入得.当且仅当＝3 时取“＝．点评:本小题考查二元基本不等式的运用．题目有有三个未知数.通过已知代数式.对所求式子消去一个未知数.用基本不等式求解. 考点五:绝对值不等式 [内容解读]掌握绝对值不等式|x|＜a.|x|＞a的解法.了解绝对值不等式与其它内容的综合. [命题规律]本节内容多以选择.填空题为主.有时与充分必要条件相结合来考查.难度不大. 例13.“|x-1|＜2 是“x＜3 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件解:由|x-1|＜2得-1＜x＜3.在-1＜x＜3的数都有x＜3.但当x＜3时.不一定有-1＜x＜3.如x＝-5.所以选(A)．点评:本题考查绝对值不等式的解法.充分条件必要条件的解法.可以用特殊值法来验证.充分性与必要性的成立. 例14.不等式的解集为 (A) (B) (C) (D) 解:∵ ∴ 即. . ∴ 故选A, 点评:此题重点考察绝对值不等式的解法,准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键.可用公式法.平方法.特值验证淘汰法, 考点六:不等式的综合应用 [内容解读]用不等式的性质.基本不等式.一元二次不等式等内容解决一些实际问题.如求最值.证明不等式等. [命题规律]不等式的综合应用多以应用题为主.属解答题.有一定的难度. 例15.如图.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为的矩形,上部是斜边长为的等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为8平方米. (Ⅰ)求的关系式.并求的取值范围, (Ⅱ)问分别为多少时用料最省? 解:(Ⅰ)由题意得: 4分 (Ⅱ)设框架用料长度为. 则当且仅当满足答:当米.米时.用料最少. 点评:本题考查利用基本不等式解决实际问题.是面积固定.求周长最省料的模型.解题时.列出一个面积的等式.代入周长所表示的代数式中.消去一个未知数.这是常用的解题方法. 例16.某化工企业2007年底投入100万元.购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元.此外每年都要花费一定的维护费.第一年的维护费为2万元.由于设备老化.以后每年的维护费都比上一年增加2万元． (1)求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用, (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低.该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备? 解:(1) 即(), (2)由均值不等式得: 当且仅当.即时取到等号．答:该企业10年后需要重新更换新设备．点评:本题又是基本不等式的一个应用.第一问求出函数关系式是关键.第二问难度不大. 考点七:不等式的证明 [内容解读]证明不等式的方法灵活多样.但比较法.综合法.分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设.题断的结构特点.内在联系.选择适当的证明方法.要熟悉各种证法中的推理思维.并掌握相应的步骤.技巧和语言特点．比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值)． [命题规律]不等式的证明多以解答题的形式出现.属中等偏难的试题. 例17.已知a, b都是正数.并且a ¹ b.求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证明: - = + = a3 - b3 = 2 ∵a, b都是正数.∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ¹ b.∴2 > 0 ∴2 > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 点评:作差相减法是证明不等式的常用方法之一.通过作差比较差的结果的符号是大于0还是小于0.另外.作商也是经常使用的方法. 例18.已知.求证证明:只需证: 即证: 成立原不等式成立. 点评:用分析法证明不等式也是常用的证明方法.通过分析法.能够找到证明的思路. 例19.已知m.n为正整数. (Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时.(1+x)m≥1+mx, (Ⅱ)对于n≥6.已知.求证.m=1,1,2-.n, (Ⅲ)求出满足等式3n+4m+-+n的所有正整数n. 解:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时.原不等式中等号显然成立.下用数学归纳法证明: 当x>-1.且x≠0时.m≥2,(1+x)m>1+mx. 1 (i)当m=2时.左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x.因为x≠0,所以x2>0.即左边>右边.不等式①成立, 时.不等式①成立.即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时.因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得 >x+kx2>1+(k+1)x, 所以x,即当m＝k+1时.不等式①也成立. 综上所述.所证不等式成立. (Ⅱ)证:当而由(Ⅰ). (Ⅲ)解:假设存在正整数成立. 即有()+＝1. ② 又由(Ⅱ)可得 ()+ +与②式矛盾. 故当n≥6时.不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形, 当n=1时.3≠4.等式不成立, 当n=2时.32+42＝52.等式成立, 当n=3时.33+43+53＝63.等式成立, 当n=4时.34+44+54+64为偶数.而74为奇数.故34+44+54+64≠74,等式不成立, 当n=5时.同n=4的情形可分析出.等式不成立. 综上.所求的n只有n=2,3. 点评:本题考查数学归纳法.不等式的基本.反证法等内容.难度较大. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（　　）

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若a＞b＞0，则下列不等关系中不一定成立的是（　　）

A．a+c＞b+c

B．ac＞bc

C．a²＞b²

D．

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若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（　　）

A．a-b＞d-c