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    (二)恒成立问题:解恒成立问题常用方法:①分离参数法,②数形结合,③转化为函数的最值问题.你能清楚何时用何种方法吗? 常见题型:①若在上恒成立.则,若在上恒成立.则.②若在上有解.则,若在上无解.则.(注:为常数.)③在上恒成立.是对于任意的.必须大于吗?应该怎样解?(不是.通常移项.使即可,若的最值无法求出.则考虑数形结合.只需在上的图像始终在的上方即可.) (1)一次函数型:给定一次函数y=f,若y=f>0.则根据函数的图象可得上述结论等价于 ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成 同理.若在[m,n]内恒有f(x)<0.则有 (2)二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0大于0恒成立.则有 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题.还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 例1. 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时.都有f(x)a恒成立.求a的取值范围. 分析:题目中要证明f(x)a恒成立.若把a移到等号的左边.则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题. 法一:解:设F-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当=4<0时.即-2<a<1时.对一切x[-1,+).F(x) 0恒成立, ⅱ)当=4 0时由图可得以下充要条件: 即 得-3a-2; 综合可得a的取值范围为[-3.1]. 法二:化为求F-a=x2-2ax+2-a.在x[-1,+)上的最小值大于等于0.再对对称轴的位置进行讨论. 法三:分离参数法:再对参数分类讨论: (3)分离变量型:若在等式或不等式中出现两个变量.其中一个变量的范围已知.另一个变量的范围为所求.且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边.则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解. 例2. 已知当xR时.不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立.求实数a的取值范围. 分析:在不等式中含有两个变量a及x.其中x的范围已知(xR).另一变量a的范围即为所求.故可考虑将a及x分离. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数

    （Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

    （Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在实数a，当x∈（0，e](e是自然常数)时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

    （Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：

    【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f（x）在[1，2]上是减函数，的导函数恒小于等于零，然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中，

    假设存在实数a，使有最小值3，利用，对a分类讨论，进行求解得到a的值。

    第三问中，

    因为，这样利用单调性证明得到不等式成立。

    解：(Ⅰ)

    (Ⅱ) 

    （Ⅲ）见解析

     

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