(一)知识梳理 1.把称为a.b的算术平均数.称为a.b的几何平均数.因而.二元均值定理可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.如果把看作是正数a.b的等差中项.看作是正数a.b的等比中项.那么二元均值定理还可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 2.一般的数学中的定理.公式揭示了若干量之间的本质关系.但不能定格于某一种特殊形式.因此不等式a+b≥2ab的形式可以是a≥2ab-b.也可以是ab≤.还可以是a+≥2b .≥2b-a等.解题时不仅要利用原来的形式.而且要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等.以便灵活运用. 3.尽管二元均值定理的应用范围极广.推论和相关结论也很多.但其本身终究是由不等式的意义.性质推导出来的.凡是用它可以获证的不等式.均可以直接根据不等式的意义.性质证得.因此.在算术平均数与几何平均数定理的应用中.不可忽视不等式的意义.性质等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用. 4.二元均值不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式.结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和.倒数和与其它变形式的结构.由公式a+b≥2ab和≥可以得到以下几个重要结论: ① a+b≥-2ab (当且仅当a = -b时取“= 号), ② a+b≥2|ab| (当且仅当| a | = | b |时取“= 号), ③ a+b≥-2|ab| (当且仅当a = b= 0时取“= 号), ④ ≤≤≤ (a.b都是正数.当且仅当a = b时等号成立). 5.二元均值不等式还能处理几个正数的平方和与和结构.倒数和与和结构.根式和与和结构及两两之积与和结构等不等式问题.但在处理这些结构型的不等式时.要注意与其它依据相结合来处理.常见结构的不等式的处理方法归纳如下: ⑴ab+bc+ca与a+b+c型 利用= a+b+c+2ab+2bc+2ca与a+b+c≥ab+bc+ ca相结合, ⑵a+b+c与a+b+c型 利用a+b+c≥ab+bc+ca乘以2再加上a+b+c即可, ⑶++与a+b+c型 只要在⑵中每个字母开方代换即可. 6.利用均值定理可以求函数或代数式的最值问题: ⑴当a.b都为正数.且ab为定值时.有a+b≥ .当且仅当a = b时取“= 号.此时a+b有最小值, ⑵当a.b都为正数.且a+b为定值时.有ab≤ .当且仅当 a = b时取“= 号.此时ab有最大值. 以上两类问题可简称为“积大和小 问题. 7.创设应用算术平均数与几何平均数定理使用的条件.合理拆分项或配凑 因式是经常用的解题技巧.而拆与凑的过程中.一要考虑定理使用的条件,二要考虑必须使和或积为定值,三要考虑等号成立的条件(当且仅当a = b时取“= 号).它具有一定的灵活性和变形技巧.高考中常被设计为一个难点. 8.二元均值定理具有将“和式 转化为“积式 和将“积式 转化为“和 式 的放缩功能.若所证不等式可变形成一边为和.另一边为积的形式.则可以考虑使用这一定理把问题转化.其中“一正二定三相等 在解题中具有双重功能.即对条件的制约作用.又有解题的导向作用. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

某中学举办“上海世博会”知识宣传活动,现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目,游戏规则是:盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”,要求两人一组参加游戏,参加游戏的两人从盒子中轮流抽取卡片,一次抽1张,抽取后不放回,直到两人中的一人抽到“世博会会徽”卡得奖才终止游戏.
(Ⅰ)游戏开始之前,一位高中生问:“盒子中有几张‘世博会会徽’卡?”主持人说:“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为
2528
”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,甲、乙两人参加游戏,双方约定甲先抽取乙后抽取,求甲获奖的概率.

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甲、乙两人参加奥运知识竞赛,假设甲、乙两人答对每题的概率分别为
2
3
3
5
,且答对一题得1分,答不对得0分.
(I)甲、乙两人各答一题,求两人得分之和ξ的分布列及数学期望;
(II)甲、乙两人各答两题,每人每答一题记为一次,求这四次答题中至少有一次答对的概率.

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某学校为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防安全知识竞赛.其中一道题是连线题,要求将3种不同的消防工具与它们的用途一对一连线,规定:每连对一条得2分,连错一条扣1分,参赛者必须把消防工具与用途一对一全部连起来.

(Ⅰ)设三种消防工具分别为,其用途分别为,若把连线方式表示为,规定第一行的顺序固定不变,请列出所有连线的情况;

(Ⅱ)求某参赛者得分为0分的概率.

 

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某学校为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防安全知识竞赛.其中一道题是连线题,要求将3种不同的消防工具与它们的用途一对一连线,规定:每连对一条得2分,连错一条扣1分,参赛者必须把消防工具与用途一对一全部连起来.
(Ⅰ)设三种消防工具分别为,其用途分别为,若把连线方式表示为,规定第一行的顺序固定不变,请列出所有连线的情况;
(Ⅱ)求某参赛者得分为0分的概率.

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(本题满分13分)
  甲、乙两人同时参加某电台举办的有奖知识问答。约定甲,乙两人分别回答4个问题,答对一题得1分,不答或答错得0分,4个问题结束后以总分决定胜负。甲,乙回答正确的概率分别是,且不相互影响。求:
(1) 甲回答4次,至少得1分的概率;
(2) 甲恰好以3分的优势取胜的概率。

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同步练习册答案