题目列表(包括答案和解析)
已知递增等差数列
满足:
,且
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式
;
(2)若不等式
对任意
恒成立,试猜想出实数
的最小值,并证明.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列
公差为
,
由题意可知
,即
,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于
,利用当
时,
;当
时,
;而
,所以猜想,
的最小值为
然后加以证明即可。
解:(1)设数列
公差为
,由题意可知
,即
,
解得
或
(舍去). …………3分
所以,
. …………6分
(2)不等式等价于
,
当
时,
;当
时,
;
而
,所以猜想,
的最小值为
. …………8分
下证不等式
对任意
恒成立.
方法一:数学归纳法.
当
时,
,成立.
假设当
时,不等式
成立,
当
时,
,
…………10分
只要证
,只要证
,
只要证
,只要证
,
只要证
,显然成立.所以,对任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:单调性证明.
要证 ![]()
只要证
,
设数列
的通项公式
, …………10分
, …………12分
所以对
,都有
,可知数列
为单调递减数列.
而
,所以
恒成立,
故
的最小值为
.
你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗?这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1 500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?
你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?
解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只).显然,鸡的只数就是35-12=23(只)了.
这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.这种思维方法叫化归法.
化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题.
1.古代《孙子算经》就有这么好的解法——化归法,这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.对此,谈谈你的看法.
2.我国古代数学研究一直处于领先地位,现在有所落后了,对此,我们不应只感叹古人的伟大,而更应该树立为科学而奋斗终身的信心,同学们,你们准备好了吗?
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com