[例1]若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A.B两点.M为AB的中点.直线OM(O为原点)的斜率为.且OA⊥OB.求椭圆的方程．分析:欲求椭圆方程.需求a.b.为此需要得到关于a.b的两——青夏教育精英家教网—

[例1]若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A.B两点.M为AB的中点.直线OM(O为原点)的斜率为.且OA⊥OB.求椭圆的方程．分析:欲求椭圆方程.需求a.b.为此需要得到关于a.b的两个方程.由OM的斜率为．OA⊥OB.易得a.b的两个方程．解法1:设A(x1.y1).B(x2.y2).M(x0.y0)． ∴(a+b)x2-2bx+b-1=0. 由 x+y=1. ax2+by2=1. ∴x0==.y0==1-=． ∴M(.)． ∵kOM=.∴b=a． ① ∵OA⊥OB.∴·=-1． ∴x1x2+y1y2=0． ∵x1x2=.y1y2=(1-x1)(1-x2). ∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2 =1-+=． ∴+=0． ∴a+b=2． ② 由①②得a=2(-1).b=2(-1)． ∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1．法2:由ax1+by1=1, ax2+by2=1相减得 ,即-下同法1．提炼方法:1．设而不求.即设出A(x1.y1).B(x2.y2).借助韦达定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,2．点差法得b=a．- [例2] 已知椭圆C:+＝1(a＞b＞0)的左．右焦点为F1.F2.离心率为e．直线,l:y＝ex+a与x轴．y轴分别交于点A.B.M是直线l与椭圆C的一个公共点.P是点F1关于直线l的对称点.设＝λ． (Ⅰ)证明:λ＝1-e2, (Ⅱ)若.△MF1F2的周长为6,写出椭圆C的方程, (Ⅲ)确定λ的值.使得△PF1F2是等腰三角形． (Ⅰ)证法一:因为A.B分别是直线l:与x轴.y轴的交点.所以A.B的坐标分别是．所以点M的坐标是()．由即．证法二:因为A.B分别是直线l:与x轴.y轴的交点.所以A.B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上.所以即解得 (Ⅱ)当时..所以由△MF1F2的周长为6.得所以椭圆方程为 (Ⅲ)解法一:因为PF1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角.要使△PF1F2为等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|.即设点F1到l的距离为d.由得所以即当△PF1F2为等腰三角形．解法二:因为PF1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角.要使△PF1F2为等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|. 设点P的坐标是. 则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2.化简得从而于是．即当时.△PF1F2为等腰三角形． [例3]求右焦点坐标是.且经过点的椭圆的标准方程, (2)已知椭圆的方程是．设斜率为的直线.交椭圆于两点.的中点为．证明:当直线平行移动时.动点在一条过原点的定直线上, 所揭示的椭圆几何性质.用作图方法找出下面给定椭圆的中心.简要写出作图步骤.并在图中标出椭圆的中心．解:(1)设椭圆的标准方程为.. ∴ .即椭圆的方程为. ∵ 点()在椭圆上.∴ . 解得或(舍). 由此得.即椭圆的标准方程为． (2)设直线的方程为. 与椭圆的交点().(). 则有. 解得 . ∵ .∴ .即．则 . ∴ 中点的坐标为． ∴ 线段的中点在过原点的直线上． (3)如图.作两条平行直线分别交椭圆于.和.并分别取.的中点.连接直线,又作两条平行直线分别交椭圆于.和.并分别取.的中点.连接直线.那么直线和的交点即为椭圆中心． [例4] 如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点转动,并且交椭圆于.两点, 为线段的中点． (1) 求点的轨迹的方程; (2) 若在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远．此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大? 解:如图 (1)设椭圆上的点.,又设点坐标为.则 ------② ------① 当不垂直轴时. 由①-②得当垂直于轴时.点即为点.满足方程(*)．故所求点的轨迹的方程为: ． (2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为, 时,上式达到最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远．此时．设椭圆上的点., △的面积设直线的方程为,代入中,得由韦达定理得令,得,当取等号．因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时, 三角形的面积最大．特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况 . [研讨．欣赏](1)已知点P的坐标是.F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动.当取最小值时.求点Q的坐标.并求出其最小值. (2)设椭圆的中心是坐标原点.长轴在x轴上.离心率为.已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程.并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标. 解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,则c=2,, 椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQ’于点Q’, 过点P作PP’于点P’,则据椭圆的第二定义知, , 易知当P.Q.Q’在同一条线上时.即当Q’与P’点重合时.才能取得最小值.最小值为8-(-1)=9.此时点Q的纵坐标为-3.代入椭圆方程得. 因此,当Q点运动到处时, 取最小值9． (2)设所求的椭圆的直角坐标方程是．由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d．则其中,如果, 则当y=-b时,d2取得最大值解得b=与矛盾, 故必有当时d2取得最大值. 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为．由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为

，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

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若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，且|AB|=2

，又M为AB的中点，若O为坐标原点，直线OM的斜率为

，求该椭圆的方程．

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若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为

，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

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若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为