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    15．已知函数f(x)＝(m∈R.e＝2.71828-是自然对数的底数)． (1)求函数f(x)的极值, (2)当x>0时.设f(x)的反函数为f-1(x).对0<p<q.试比较f(q-p).f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小． 解:(1)当x>0.f(x)＝ex-1在上单调递增.且f(x)＝ex-1>0, 当x≤0时.f(x)＝x3+mx2.此时f′(x)＝x2+2mx＝x(x+2m)． ①若m＝0.f′(x)＝x2≥0.则f(x)＝x3.在(-∞.0]上单调递增.且f(x)＝x3≤0. 又f(0)＝0.可知函数f(x)在R上单调递增.无极值． ②若m<0.令f′(x)＝x(x+2m)>0 ⇒x<0或x>-2m． 函数f(x)＝x3+mx2在(-∞.0]上单调递增. 同理.函数f(x)在R上单调递增.无极值． ③若m>0.令f′(x)＝x(x+2m)>0⇒x>0或x<-2m. 函数f(x)＝x3+mx2在(-∞.-2m]上单调递增.在(-2m,0]上单调递减． 此时函数f(x)在x＝-2m处取得极大值:f(-2m)＝m3+4m3＝m3>0, 又f(x)在上单调递增.故在x＝0处取得极小值:f(0)＝0. 综上可知.当m>0时.f(x)的极大值为m3.极小值为0,当m≤0时.f(x)无极值． (2)当x>0时.设y＝f(x)＝ex-1⇒y+1＝ex⇒x＝ln(y+1)． ∴f-1(x)＝ln(x+1)(x>0)． (ⅰ)比较f(q-p)与f-1(q-p)的大小． 记g(x)＝f(x)-f-1(x)＝ex-ln(x+1)-1(x>0)． ∵g′(x)＝ex-在上是单调递增函数. ∴g′(x)>g′(0)＝e0-＝0恒成立． ∴函数g(x)在上单调递增． ∴g(x)>g(0)＝e0-ln(0+1)-1＝0. 当0<p<q时.有q-p>0. ∴g(q-p)＝eq-p-ln(q-p+1)-1>0. ∴eq-p-1>ln(q-p+1).即f(q-p)>f-1(q-p)．① (ⅱ)比较f-1(q-p)与f-1(q)-f-1(p)的大小． ln(q-p+1)-[ln(q+1)-ln(p+1)] ＝ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1) ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln[+1]． ∵0<p<q.∴+1>1.故ln[+1]>0. ∴ln(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1). 即f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p)．② ∴由①②可知.当0<p<q时.有f(q-p)>f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p)． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

      已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(x)＝x无实根，下列命题中：

        （1）方程f [f (x)]＝x一定无实根；

        （2）若a＞0，则不等式f [f (x)]＞x对一切实数x都成立；

        （3）若a＜0，则必存在实数x0，使f [f (x0)]＞x0；

        （4）若a＋b＋c＝0，则不等式f [f (x)]＜x对一切x都成立；

        正确的序号有          ．              

     

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    已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是(　　)

    A．f(1)≥25         B．f(1)＝25     C．f(1)≤25         D．f(1)>25

     

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    已知函数f(x)＝|lg(x－1)|－()x有两个零点x1，x2，则有

    A．x1x2<1　　　　B．x1x2<x1＋x2

    C．x1x2＝x1＋x2　　　　D．x1x2>x1＋x2

     

     

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    已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝                 (　　)

    A．－1                      B.

    C．－1或                 D．1或－

     

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    (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a为正数)．
    (1) 若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
    (2) 求f(x)的单调区间；
    (3) 设g(x)＝x2－2x，若对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．

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