已知函数f(x)=

x

x2+1

．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-

3

4

，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(

1

3

，

3

10

)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-

3

4

，+∞)，且a+b+c=1，证明：

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的证明猜想

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

已知数列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

…

1

(3n-2)×(3n+1)

，计算s₁，s₂，s₃，s₄，猜想s_n的表达式，并用数学归纳法证明猜想的正确性．