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    建造一个容积为8m.深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元.则水池的最低造价为 . [简解]1小题:图像法解方程.也可代入各区间的一个数.选C, 2小题:函数f(x)的对称轴为2.结合其单调性.选A, 3小题:从反面考虑.注意应用特例.选B, 4小题:设tg＝x .则+＝.解出x＝2.再用万能公式.选A, 5小题:利用是关于n的一次函数.设S＝S＝m.＝x.则(,p).(,q).在同一直线上.由两点斜率相等解得x＝0.则答案:0, 6小题:设cosx＝t.t∈[-1,1].则a＝t-t-1∈[-,1].所以答案:[-,1], 7小题:设高h.由体积解出h＝2.答案:24, 8小题:设长x.则宽.造价y＝4×120+4x×80+×80≥1760.答案:1760. Ⅱ.示范性题组: 例1. 设a>0.a≠1.试求方程log＝log(x-a)有实数解的k的范围. [分析]由换底公式进行换底后出现同底.再进行等价转化为方程组.分离参数后分析式子特点.从而选用三角换元法.用三角函数的值域求解. [解] 将原方程化为:log＝log. 等价于 ∴ k＝- ( ||>1 ), 设＝cscθ. θ∈(-,0)∪(0, ).则 k＝f(θ)＝cscθ-|ctgθ| 当θ∈(-,0)时.f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg<-1.故k<-1, 当θ∈(0, )时.f(θ)＝cscθ-ctgθ＝tg∈(0,1).故0<k<1, 综上所述.k的取值范围是:k<-1或0<k<1. y C C -ak -a a x [注] 求参数的范围.分离参数后变成函数值域的问题.观察所求函数式.引入新的变量.转化为三角函数的值域问题.在进行三角换元时.要注意新的变量的范围.一般地.此种思路可以解决有关不等式.方程.最大值和最小值.参数范围之类的问题.本题还用到了分离参数法.三角换元法.等价转化思想等数学思想方法. 另一种解题思路是采取“数形结合法 : 将原方程化为:log＝log.等价于x-ak＝ .设曲线C:y＝x-ak.曲线C:y＝ .如图所示. 由图可知.当-ak>a或-a<-ak<0时曲线C与C有交点.即方程有实解.所以k的取值范围是:k<-1或0<k<1. 还有一种思路是直接解出方程的根.然后对方程的根进行讨论.具体过程是:原方程等价变形为后.解得:.所以>ak.即-k>0.通分得<0.解得k<-1或0<k<1.所以k的取值范围是:k<-1或0<k<1. 例2. 设不等式2x-1>m(x-1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立.求x的取值范围. [分析] 此问题由于常见的思维定势.易把它看成关于x的不等式讨论.然而.若变换一个角度以m为变量.即关于m的一次不等式(x-1)m-<0在[-2,2]上恒成立的问题.对此的研究.设f(m)＝(x-1)m-.则问题转化为求一次函数的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件. [解]问题可变成关于m的一次不等式:(x-1)m-<0在[-2,2] 恒成立.设f(m)＝(x-1)m-, 则 解得x∈(,) [注] 本题的关键是变换角度.以参数m作为自变量而构造函数式.不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题.本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]时求m的值.关于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围. 一般地.在一个含有多个变量的数学问题中.确定合适的变量和参数.从而揭示函数关系.使问题更明朗化.或者含有参数的函数中.将函数自变量作为参数.而参数作为函数.更具有灵活性.从而巧妙地解决有关问题. 例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S.已知a＝12.S>0.S<0 . ①.求公差d的取值范围, ②.指出S.S.-.S中哪一个值最大.并说明理由. [分析] ①问利用公式a与S建立不等式.容易求解d的范围,②问利用S是n的二次函数.将S中哪一个值最大.变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题. [解]① 由a＝a+2d＝12,得到a＝12-2d.所以 S＝12a+66d＝12+66d＝144+42d>0. S＝13a+78d＝13+78d＝156+52d<0. 解得:-<d<-3. ② S＝na+n+n(n-1)d ＝[n-(5-)]-[(5-)] 因为d<0.故[n-(5-)]最小时.S最大.由-<d<-3得6<(5-)<6.5.故正整数n＝6时[n-(5-)]最小.所以S最大. [注] 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数.因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题.也可以利用方程的思想.设出未知的量.建立等式关系即方程.将问题进行算式化.从而简洁明快.由次可见.利用函数与方程的思想来解决问题.要求灵活地运用.巧妙的结合.发展了学生思维品质的深刻性.独创性. 本题的另一种思路是寻求a>0.a<0 .即:由d<0知道a>a>->a.由S＝13a<0得a<0.由S＝6(a+a)>0得a>0.所以.在S.S.-.S中.S的值最大. 例4. 如图.AB是圆O的直径.PA垂直于圆O所在平面.C是圆周上任一点.设∠BAC＝θ.PA＝AB=2r.求异面直线PB和AC的距离. [分析] 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值.从而设定变量.建立目标函数而求函数最小值. P M A H B D C [解] 在PB上任取一点M.作MD⊥AC于D.MH⊥AB于H. 设MH＝x.则MH⊥平面ABC.AC⊥HD . ∴MD＝x+[sinθ]＝(sin+1)x-4rsinθx+4rsinθ ＝(sinθ+1)[x-]+ 即当x＝时.MD取最小值为两异面直线的距离. [注] 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离 变成“求异面直线上两点之间距离的最小值 .并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题 .一般地.对于求最大值.最小值的实际问题.先将文字说明转化成数学语言后.再建立数学模型和函数关系式.然后利用函数性质.重要不等式和有关知识进行解答.比如再现性题组第8题就是典型的例子. 例5. 已知△ABC三内角A.B.C的大小成等差数列.且tgA·tgC＝2+.又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a.b.c及三内角. [分析]已知了一个积式.考虑能否由其它已知得到一个和式.再用方程思想求解. [解] 由A.B.C成等差数列.可得B＝60°, 由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC.得 tgA+tgC＝tgB＝ (1+) 设tgA.tgC是方程x-(+3)x+2+＝0的两根.解得x＝1.x＝2+ 设A<C.则tgA＝1.tgC＝2+. ∴A＝.C＝ 由此容易得到a＝8.b＝4.c＝4+4. [注]本题的解答关键是利用“△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC 这一条性质得到tgA+tgC.从而设立方程求出tgA和tgC的值.使问题得到解决. 例6. 若(z-x) -4＝0,求证:x.y.z成等差数列. [分析] 观察题设.发现正好是判别式b-4ac＝0的形式.因此联想到构造一个一元二次方程进行求解. [证明] 当x＝y时.可得x＝z. ∴x.y.z成等差数列, 当x≠y时.设方程(x-y)t-＝0.由△＝0得t＝t.并易知t＝1是方程的根. ∴t·t＝＝1 . 即2y＝x+z . ∴x.y.z成等差数列 [注]一般地.题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x+x＝a.x·x＝b 的形式.则可以利用根与系数的关系构造方程,如果具备b-4ac≥0或b-4ac≤0的形式.可以利用根的判别式构造一元二次方程.这种方法使得非方程问题用方程思想来解决.体现了一定的技巧性.也是解题基本方法中的一种“构造法 . 例7. △ABC中.求证:cosA·cosB·cosC≤ . [分析]考虑首先使用三角公式进行变形.结合三角形中有关的性质和定理.主要是运用“三角形的内角和为180° .变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决. [证明] 设k＝cosA·cosB·cosC＝[cos]·cosC＝[-cosC+cos(A-B)]cosC 整理得:cosC-cos(A-B)·cosC+2k＝0.即看作关于cosC的一元二次方程. ∴ △＝cos(A-B)-8k≥0 即 8k≤cos(A-B)≤1 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤ [注]本题原本是三角问题.引入参数后.通过三角变形.发现了其等式具有“二次 特点.于是联想了一元二次方程.将问题变成代数中的方程有实解的问题.这既是“方程思想 .也体现了“判别式法 .“参数法 . 此题的另外一种思路是使用“放缩法 ,在放缩过程中也体现了“配方法 .具体解答过程是:cosA·cosB·cosC＝[cos]·cosC ＝-cosC+cos(A-B)·cosC＝- [cosC-]+cos(A-B)≤cos(A-B) ≤. 例8. 设f(x)＝lg.如果当x∈有意义.求实数a的取值范围. [分析]当x∈＝lg有意义的函数问题.转化为1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题. [解] 由题设可知.不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立. 即:()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立. 设t＝(), 则t≥. 又设g(t)＝t+t+a.其对称轴为t＝- ∴ t+t+a＝0在[,+∞)上无实根. 即 g()＝()++a>0.得a>- 所以a的取值范围是a>-. [注]对于不等式恒成立.引入新的参数化简了不等式后.构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题.其中也联系到了方程无解.体现了方程思想和函数思想.一般地.我们在解题中要抓住二次函数及图像.二次不等式.二次方程三者之间的紧密联系.将问题进行相互转化. 在解决不等式()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时.也可使用“分离参数法 : 设t＝(), t≥.则有a＝-t-t∈(-∞,-].所以a的取值范围是a>-.其中最后得到a的范围.是利用了二次函数在某区间上值域的研究.也可属应用“函数思想 . Ⅲ.巩固性题组: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    建造一个容积为18m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价分别为200元和150元，那么水池的最低造价为
    5400
    5400
    元．

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    水是生命之源、生产之要、生态之基.2010年春季，西南5省面临世纪大旱，5000多万同胞受灾．这场少见的世纪大旱使农作物受灾面积近500万公顷，其中40万公顷良田颗粒无收，2000万同胞面临无水可饮的绝境．某乡镇对此次旱灾进行了认真的分析、总结，决定建造一个容积为4800m3，深为3m的长方体形无盖贮水池，以解决当地居民饮水、灌溉问题．已知贮水池池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底一边长为xm，总造价为y（单位：元）．
    （1）试写出以x为自变量的函数y的解析式；
    （2）求函数y的最小值，及相应x的值，并指出其实际意义．

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    要建造一个容积为2000m3，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，若水池底的一边长为xm，水池的总造价为y元．
    （1）把水池总造价y表示为x的函数y=f（x），并写出函数的定义域．
    （2）试证明：函数y=f（x）当x∈（0，20]时是减函数，当x∈[20，+∞）时是增函数
    （3）当水池底的一边长x为多少时，水池的总造价最低，最低造价是多少．

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    建造一个容积为8m3深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2
    （1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
    （2）判断（1）中函数在（0，2]和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
    （3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低．

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    建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，
    （1）设池底的长为x m，试把水池的总造价S表示成关于x的函数；
    （2）如何设计池底的长和宽，才能使总造价S最低，求出该最低造价．

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