斜三棱柱ABC-A1B1C1中.底面是边长为4cm的正三角形.侧棱AA1与底面两边AB.AC均成600的角.AA1=7 (1)求证:AA1⊥BC,(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的全面积,(3)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积,(4)求AA1到侧面BB1C1C的距离. 解析:设A1在平面ABC上的射影为0 ∵ ∠A1AB=∠A1AC ∴ O在∠BAC的平行线AM上 ∵ △ABC为正三角形 ∴ AM⊥BC 又AM为A1A在平面ABC上的射影 ∴ A1A⊥BC (2) ∵ B1B∥A1A ∴ B1B⊥BC.即侧面BB1C1C为矩形 ∴ 又 ∴ S全= (3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB ∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO= ∴ A1O=A1Asin∠A1AO= ∴ (4)把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离 为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影.首先要找到侧面BB1C1C的垂面 设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1 ∵ BC⊥AM.BC⊥A1A ∴ BC⊥平面AA1M1M ∴ 平面AA1M1M⊥侧面BCC1B1 在平行四边形AA1M1M中 过A1作A1H⊥M1M.H为垂足 则A1H⊥侧面BB1C1C ∴ 线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离 ∴ 【
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