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    如图.过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA.PB.PC.(1)求证:PA2+PB2+PC2为定值,(2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值. 解析:先选其中两条弦PA.PB.设其确定的平面截球得⊙O1.AB是⊙O1的直径.连PO1并延长交⊙O1于D.PADB是矩形.PD2＝AB2＝PA2+PB2.然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了. 解: (1)设过PA.PB的平面截球得⊙O1.∵PA⊥PB. ∴AB是⊙O1的直径.连PO1并延长交⊙O1于D.则PADB是矩形.PD2＝PA2+PB2. 设O为球心.则OO1⊥平面⊙O1. ∵PC⊥⊙O1平面. ∴OO1∥PC.因此过PC.PD的平面经过球心O.截球得大圆.又PC⊥PD. ∴CD是球的直径. 故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值. (2)设PA.PB.PC的长分别为x.y.z.则三棱锥P-ABC的体积V＝xyz. V2＝x2y2z2≤()3＝·＝R6. ∴V≤R3. 即 V最大＝R3. 评析:定值问题可用特殊情况先“探求 .如本题(1)若先考虑PAB是大圆.探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向. 球面上任一点对球的直径所张的角等于90°.这应记作很重要的性质. 【查看更多】

     

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