在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P是A1B1上的一动点.平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α.β.试求α+β的最大值和最小值. 解析:如图.对角面A1B1CD⊥对角面ABC1D1.其交线为EF.过P作PQ⊥EF于Q.则PQ⊥对角面ABC1D1.分别连PE.PF. ∵EF⊥AD1.PE⊥AD1.故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ＝α. 同理.∠PFQ＝β. 设A1P＝x,.则PB1＝1-x. ∵EQ＝A1P.QF＝PB1.PQ＝. ∴当0＜x＜1时.有 tanα＝,tanβ＝, ∴tan＝＝ ＝ 而当x＝0时α＝.tan＝tan(+β)＝-cotβ＝-＝-.上式仍成立,类似地可以验证.当x＝1时.上式也成立.于是.当x＝时.tan取最小值-2,当x＝0或1时.tan取最大值-. 又∵ 0＜α+β＜π. ∴max＝π-arctan min＝π-arctan2 【
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