如图.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形.侧棱AA1长为2.且∠A1AB＝∠A1AD＝60°则此平行六面体的体积为 解析:一 求平行六面体ABCD-A1B1C1D的体积.应用公式.由于底面是正方形.所以关键是求高.即到底面ABCD的距离 解法一:过点A1做A1O⊥平面ABCD.垂足为O.过O做OE⊥AB.OF⊥AD.垂足分别为E.F.连结A1E.A1F.可知O在∠BAD的平分线AC上. ∴cos∠A1AO·cos∠OAF＝·＝＝cos∠A1AF 即cos∠A1AO·cos45°＝cos60° ∴cos∠A1AO＝ ∴sin∠A1AO＝ ∴A1O＝A1Asin∠A1AO＝ ∴V＝SABCD·A1O＝ 分析二 如图.平行六面体的对角面B1D1DB把平行六面体分割成两个斜三棱柱.它们等底面积.等高.体积相等.考察其中之一三棱柱A1B1D1-ABD. 解法二:过B作BE⊥A1A.连结DE.可知面BDE是其直截面.把斜三棱柱分割成上下两部分.若把两部分重新组合.让面A1D1B1与面ADB重合.则得到一直棱柱.ΔBDE是其底面.DD1是其侧棱.并且和斜三棱柱A1B1D1-ABD的体积相等. 取BD中点O.连结OE.易知 SΔBED＝BD·OE＝BD· ＝··＝ ∴V直棱柱＝SΔDEB·DD1 ＝×2＝＝ ∴＝2＝ 点评 在解决体积问题时.“割 “补 是常用的手段.另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法:斜棱柱的体积＝直截面面积×侧棱长. 【
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