求证:(1)平行六面体的各对角线交于一点.并且在这一点互相平分. (2)对角线相等的平行六面体是长方体. 已知:平行六面体ABCD-A1B1C1D1 求证:(1)对角线AC1.BD1.CA1.DB1相交于一点.且在这点互相平分, (2)若AC1＝BD1＝CA1＝DB1时.该平行六面体为长方体. 证明:(1)∵AA1∥BB1.BB1∥CC1. ∴AA1∥CC1. ∴对面角A1ACC1是平行四边形. ∴CA1与AC1相交.且互相平分. 设CA1∩AC1＝0.则O为CA1.AC1的中点. 同理.可证DB1与AC1及AC1与D1B也相交于一点.且互相平分. 交点也是O. ∴AC1.BD1.DB1.CA1交于一点.且互相平分. (2)∵平行六面体AC1的对角线面A1C1CA.B1D1DB都是平行四边形.且它们的对角线A1C.B1D.C1A.D1B都相等. ∴对角面A1C1AC.B1D1DB都是矩形. 因此 CC1⊥A1C1 ∴BB1⊥B1D1 又∵BB1∥CC1 ∴BB1⊥A1C1 ∴BB1⊥平面A1C1 ∴平行六面体A1C是直平行六面体 同理可证:CB⊥平面A1B.则BC⊥AB. ∴平面四边形ABCD是矩形. ∴直平行六面体A1C是长方体. 【
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