如图.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.点E在棱D1D上.截面EAC∥D1B.且面EAC与底面ABCD所成的角为45°.AB＝a. (1)求截面EAC的面积 (2)求异面直线A1B1与AC之间的距离 (3)求三棱锥B1-EAC的体积 解析:(1)连结DB交AC于O.连结EO. ∵底面ABCD是正方形 ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面AC ∴EO⊥AC ∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角 ∴∠EOD＝45° DO＝a,AC＝a,EO＝a·sec45°＝a. 故 SΔEAC＝a2. (2)解:由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.得A1A⊥底面AC.A1A⊥AC. 又A1A⊥A1B1 ∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线 ∵D1B∥面EAC.且面D1BD与面EAC交线为EO ∴D1B∥EO 又O是DB的中点 ∴E是D1D的中点.D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝＝a. 异面直线A1B1与AC间的距离为a. 连结B1O.则＝2 ∵AO⊥面BDD1B1 ∴AO是三棱锥A-EOB1的高.AO＝a. 在正方形BDD1B1中.E.O分别是D1D.DB的中点 则:＝a2. ∴＝2··a2·a＝a3 所以三棱锥B1-EAC的体积是a3. 【
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