如图.在正方体ABDC-A1B1C1D1中.E.F分别是BB1.CD的中点. (1)证明AD⊥D1F (2)求AE与D1F所成的角 (3)证明面AED⊥面A1FD1 (4)设AA1＝2.求三棱锥F-A1ED1的体积V??F-A1ED1? 解析:(1)∵AC1是正方体.∴AD⊥面DC1.又D1FDC1.∴AD⊥D1F. (2)取AB中点G.连结A1G.FG.因为F是CD的中点.所以GF.AD平行且相等.又A1D1.AD平行且相等.所以GF.A1D1平行且相等.故GFD1A1是平行四边形.A1G∥D1F. 设A1G与AE相交于点H.则∠AHA1是AE与D1F所成的角.因为E是BB1的中点.RtΔA1AG≌RtΔABE.∠GA1A＝∠GAH.从而∠AHA1＝90°.即直线AE与D1F所成角为直角. 知AD⊥D1F.由(2)知AE⊥D1F.又AD∩AE＝A.所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1ED1.∴体积＝＝.∵AA1＝2.∴面积＝-2-＝. ∴＝×A1D1×＝×2×＝1. 【
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