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    三棱柱ABC-A1B1C1的侧面三条对角线AB1.BC1.CA1中.AB1⊥BC1.求证:AB1⊥CA1. 证 方法1 如图.延长B1C1到D.使C1D＝B1C1.连CD.A1D.因AB1⊥BC1.故AB1⊥CD,又B1C1＝A1C1＝C1D.故∠B1A1D＝90°.于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD.因此AB1⊥A1C. 方法2 如图.取A1B1.AB的中点D1.P.连CP.C1D1.A1P.D1B.易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1.从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C. 说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线.证明线面垂直常采用下列方法: (1)利用线面垂直的定义,(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线, (3)证明直线平行于平面的垂线,(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面. 【查看更多】

     

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